Câu hỏi:

19/08/2025 3,094

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn BC với BC = 2a, AD = AB = a, mặt bên (SAD) là tam giác đều. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB = 2AM. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA, BC. Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng (α) và tính diện tích của thiết diện đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn BC với BC = 2a, AD = AB = a (ảnh 1)

+) Dựng thiết diện:

Qua M kẻ MQ song song BC (Q ∈ DC), kẻ MN song song SA (N ∈ SB)

Qua N kẻ NP song song BC (P ∈ SC)

Khi đó, (MNPQ) là mặt phẳng qua M và song song BC, SA

⇒ (MNPQ) ≡ (α)

Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác MNPQ.

+) Tính diện tích thiết diện:

Ta có: NP // MQ (cùng song song BC) ⇒ MNPQ là hình thang

ΔSAD đều ⇒ SA = SD = AD = a

ABCD là hình thang, MQ // BC ⇒ \(\frac{{CQ}}{{DC}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{SB}} = \frac{2}{3}\)

MN // SA ⇒ \(\frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) ⇒ \(MN = \frac{2}{3}SA = \frac{2}{3}a\)

NP // BC ⇒ \(\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{1}{3}\) ⇒ \(NP = \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}a\) và \(\frac{{PC}}{{SC}} = \frac{{NB}}{{SB}} = \frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{{PC}}{{SC}} = \frac{{CQ}}{{DC}} = \frac{2}{3}\)

⇒ \(\frac{{PQ}}{{SD}} = \frac{2}{3}\) ⇒ \(PQ = \frac{2}{3}SD = \frac{2}{3}a.\)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BM và CQ.

Giả sử MQ có độ dài bằng x. Khi đó, do IJ là đường trung bình của hình thang BCQM

⇒ \(IJ = \frac{{MQ + BC}}{2} = \frac{{x + 2a}}{2}\)

Do MQ là đường trung bình của hình thang IJDA ⇒ 2MQ = IJ + AD

⇔ \(2x = \frac{{x + 2a}}{2} + a\) ⇔ 4x = x + 2a + 2a ⇔ \(x = \frac{4}{3}a\)

⇒ \(MQ = \frac{4}{3}a\)

Xét hình thang MNPQ có: NP = MN = PQ = \(\frac{2}{3}a,\) \(MQ = \frac{4}{3}a\) ⇒ MNPQ là hình thang cân.

Kẻ MH, NK vuông góc với PQ (H, K ∈ PQ)

⇒ \(QH = PK = \frac{{PQ - MN}}{2} = \frac{{\frac{4}{3}a - \frac{2}{3}a}}{2} = \frac{a}{3}\)

⇒ \(MH = \sqrt {M{Q^2} - Q{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}a} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Diện tích hình thang MNPQ: \(S = \frac{1}{2}\left( {MN + PQ} \right).MH = \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}a + \frac{4}{3}a} \right).\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

A. \(\frac{8}{{89}}.\)

B. \(\frac{{81}}{{89}}.\)

C. \(\frac{{36}}{{89}}.\)

D. \(\frac{{53}}{{89}}.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Số tự nhiên có 2 chữ số là: \(C_9^1.C_{10}^1 = 90\) (số).

\(\Omega :\) “Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp S” ⇒ \({n_\Omega } = C_{90}^2\)

A: “Chọn được 2 số có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.

· TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 ⇒ Có 9 chữ số là: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

⇒ Số cách chọn 2 số là: \(C_9^2.\)

Tương tự với các số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

⇒ Có tất cả 10 trường hợp giống nhau.

⇒ \({n_A} = 10.C_9^2\)

⇒ \({P_A} = \frac{{10.C_9^2}}{{C_{90}^2}} = \frac{8}{{89}}.\)

Câu 2

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO ⊥ BC tại H.

b) Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh: DC // OA.

Xem đáp án

Lời giải

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C (ảnh 1)

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ABOC có: \(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp ⇒ A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nênAO là đường trung trực của BC.

Do đó AO ⊥ BC tại H.

b) Xét ∆BCD có: H là trung điểm của BC, O là trung điểm của BD

Suy ra OH là đường trung bình của ∆BCD.

Do đó OH // CD hay OA // CD.

Câu 3