Câu hỏi:

13/07/2024 232

Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) m ≥ 0.

Đặt \(\sqrt {\cos x + m} = t,t \ge 0.\)

Phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x + t = m}\\{{t^2} - \cos x = m}\end{array}} \right.\)

(cos2x – t2) + (t + cos x) = 0

(cos x + t)(cos x – t + 1) = 0

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = - t}\\{\cos x - t + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

TH1: cos x = -t

\(\sqrt {\cos x + m} = - \cos x\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0}\\{{{\cos }^2}x - \cos x = m}\end{array}} \right.\)

Đặt u = cos x (-1 ≤ u ≤ 0)

Xét hàm số f(u) = u2 – u trên đoạn [-1; 0], có hoành độ đỉnh \(x = \frac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\) và bảng biến thiên:

Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình cos^2 x + căn bậc hai (cos x + m) = m (ảnh 1)

Để phương trình có nghiệm thì m [0; 2]. Vì m ℤ nên m {0; 1; 2}.

TH2: cos x – t + 1 = 0

\(\sqrt {\cos x + m} = 1 + \cos x\)

cos2x + cos x + 1 = m

Đặt v = cos x, -1 ≤ v ≤ 1. Ta có m = v2 + v + 1 = g(v)

Hàm số bậc hai g(v) có hoành độ đỉnh \(v = \frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) và có bảng biến thiên:

Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình cos^2 x + căn bậc hai (cos x + m) = m (ảnh 2)

Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {\frac{3}{4};3} \right].\) Vì m ℤ nên m {1; 2; 3}.

Vậy có tất cả 4 số nguyên m thỏa mãn bài toán.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Số tự nhiên có 2 chữ số là: \(C_9^1.C_{10}^1 = 90\) (số).

\(\Omega :\) “Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp S” \({n_\Omega } = C_{90}^2\)

A: “Chọn được 2 số có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.

· TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 Có 9 chữ số là: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

 Số cách chọn 2 số là: \(C_9^2.\)

Tương tự với các số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

 Có tất cả 10 trường hợp giống nhau.

\({n_A} = 10.C_9^2\)

\({P_A} = \frac{{10.C_9^2}}{{C_{90}^2}} = \frac{8}{{89}}.\)

Lời giải

a) Có tất cả 5 + 4 + 3 = 12 quyển sách.

Cách sắp xếp các quyển sách một cách tùy ý là: 12! (cách)

b) Chọn vị trí ở giữa cho 5 quyển sách Toán nên có số cách là 5! (cách)

Chọn vị trí đầu cho sách lý, có số cách là 4! (cách)

Chọn vị trí cuối cho sách văn, có số cách là 3! (cách)

Hoán đổi vị trí đầu và vị trí cuối nên thêm 2! (cách)

Vậy số cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa là:

4!.5!.3!.2! = 34560 (cách)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP