Câu hỏi:
13/07/2024 161
Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm.
Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) có nghiệm.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\) ⇒ m ≥ 0.
Đặt \(\sqrt {\cos x + m} = t,t \ge 0.\)
Phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x + t = m}\\{{t^2} - \cos x = m}\end{array}} \right.\)
⇒ (cos2x – t2) + (t + cos x) = 0
⇔ (cos x + t)(cos x – t + 1) = 0
⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = - t}\\{\cos x - t + 1 = 0}\end{array}} \right.\)
TH1: cos x = -t
⇒ \(\sqrt {\cos x + m} = - \cos x\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0}\\{{{\cos }^2}x - \cos x = m}\end{array}} \right.\)
Đặt u = cos x (-1 ≤ u ≤ 0)
Xét hàm số f(u) = u2 – u trên đoạn [-1; 0], có hoành độ đỉnh \(x = \frac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]\) và bảng biến thiên:
Để phương trình có nghiệm thì m ∈ [0; 2]. Vì m ∈ ℤ nên m ∈ {0; 1; 2}.
TH2: cos x – t + 1 = 0
⇔ \(\sqrt {\cos x + m} = 1 + \cos x\)
⇔ cos2x + cos x + 1 = m
Đặt v = cos x, -1 ≤ v ≤ 1. Ta có m = v2 + v + 1 = g(v)
Hàm số bậc hai g(v) có hoành độ đỉnh \(v = \frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) và có bảng biến thiên:
Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {\frac{3}{4};3} \right].\) Vì m ∈ ℤ nên m ∈ {1; 2; 3}.
Vậy có tất cả 4 số nguyên m thỏa mãn bài toán.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
Xem đáp án »
15/08/2023
13,419
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,871
Câu 3:
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Xem đáp án »
15/08/2023
3,056
Câu 4:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.
a) Tính \(\widehat {COD}.\)
b) Tứ giác OIMK là hình gì?
c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.
a) Tính \(\widehat {COD}.\)
b) Tứ giác OIMK là hình gì?
c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,929
Câu 5:
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.\)
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.\)
Xem đáp án »
13/07/2024
2,855
Câu 6:
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,727
Câu 7:
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,432
về câu hỏi!