Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), cát tuyến MCD với (O) (AB là các tiếp điểm và O nằm trong góc BMD.

a) Chứng minh: tứ giác AOBM nội tiếp và xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp.

b) Chứng minh: MA² = MC.MD.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: 5 điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn.

d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: Tứ giác CHOD nội tiếp.

e) Vẽ dây BE của (O) song song với CD. Chứng minh: 3 điểm E, I, A thẳng hàng.

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Tứ giác AOBM có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

⇒ A, O, B, M thuộc đường tròn đường kính OM.

⇒ AOBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Tâm G là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Lại có \(\widehat M\)chung.

Do đó, ΔMAC ∽ ΔMDA(g.g)

⇒ \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\)

⇒ MA² = MC.MD.

c) Vì I là trung điểm CD ⇒ OI ⊥ CD

⇒ OI ⊥ MI

⇒ I thuộc đường tròn đường kính OM

⇒ I ∈ (G)

⇒ M, A, O, I, B ∈ (G).

d) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Nên MA = MB, MO là phân giác \[\widehat {AMB}\]

⇒ ΔMAB có MO vừa là phân giác vừa là đường cao.

⇒ MO ⊥ AB

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔAMO đường cao AH có:

⇒ MA² = MH.MO (kết hợp b)

⇒ MH.MO = MC.MD

⇒ \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có:

\(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MD}}\)

\(\widehat M\)chung

Do đó, ΔMCH ∽ ΔMOD (c.g.c).

⇒ \(\widehat {MHC} = \widehat {MDO} = \widehat {CDO}\)

⇒ CHOD nội tiếp

e) Gọi CD ∩ AB = F

⇒ \(\widehat {AFI} = \widehat {ABE}\) (vì CD // BE và hai góc ở vị trí đồng vị)

Ta có: A, M, B, O, I ∈ (G)

⇒ \(\widehat {AIC} = \widehat {AIM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \widehat {AEB}\)

⇒ \(\widehat {AIF} = \widehat {AEB}\)

⇒ ΔAIF ∽ ΔAEB (g.g).

⇒ \(\widehat {IAF} = \widehat {EAB} = \widehat {EAF}\)

⇒ A, I, E thẳng hàng.