Câu hỏi:

13/07/2024 412

Có bao nhiêu số nguyên $x \in [- 2021; 2021]$ để ứng với mỗi x có tối thiểu 64 số nguyên y thỏa mãn $\log_{3} \sqrt{x^{4} + y} \geq \log_{2} (x + y)$ ?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 10) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: 3990

Ta có $\log_{3} \sqrt{x^{4} + y} \geq \log_{2} (x + y) \Leftrightarrow \log_{9} (x^{4} + y) \geq \log_{2} (x + y) (1)$

Đặt $t = x + y \in ℕ^{*} ($ do $x, y \in ℤ, x + y > 0$

$g^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} - \frac{1}{(x^{4} - x + t) \ln 9}$ mà $x \in [- 2021; 2021] \Rightarrow x^{4} \geq x \Rightarrow x^{4} - x \geq 0 \Rightarrow x^{4} - x + t \geq t$

Từ đó suy ra $g^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} - \frac{1}{(x^{4} - x + t) \ln 9} > 0, \forall x, t$ thuộc điều kiện xác định.

Do đó g(t) đồng biến trên $[1; + \infty)$

Mỗi một giá trị của x, y tương ứng với một giá trị của t nên để x nguyên có tối thiểu 64 giá trị $t \in ℕ^{*}$ ta có $g (64) \leq 0 \Leftrightarrow \log_{2} 64 - \log_{9} (x^{4} - x + 64) \leq 0$

$\Leftrightarrow \log_{9} (x^{4} - x + 64) \geq 6 \Leftrightarrow x^{4} - x + 64 \geq 9^{6} \Leftrightarrow x^{4} - x - 531377 \geq 0 (*)$

Đặt $f (x) = x^{4} - x - 531377 \Rightarrow f^{'} (x) = 4 x^{3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ , ta có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu số nguyên x thuộc -2021 2021 để ứng với mỗi x có tối thiểu 64 số nguyên y thỏa mãn log 3 căn x4 + y lớn hơn bằng log 2 x + y ? (ảnh 1)

Lại có $f (26) = - 74427; f (27) = 37 \Rightarrow f (26) . f (27) < 0$

$f (- 26) = - 74375; f (- 27) = 91 \Rightarrow f (- 26) . f (- 27) < 0$

Do đó mỗi khoảng (26;27) và (-27;-26) phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

Mà hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$ và $(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}; + \infty)$ nên bất phương trình (*) có nghiệm $[\begin{array}{l} x \geq 27 \\ x \leq - 27 \end{array}$ . Kết hợp điều kiện $x \in [- 2021; 2021]$ và x nguyên suy ra

$x \in {- 2021; - 2020; \dots; - 27; 27; 28; \dots; 2021}$

Vậy có

(2021 - 27 + 1) .2

= 3990 giá trị thỏa mãn.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 m³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/m². Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu triệu đồng?

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: 108

Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/m2. (ảnh 1)

Gọi ba kích thước của bể là a, 2a, c. (a(m) > 0, c(m) > 0)

Ta có diện tích các mặt cần xây là $S = 2 a^{2} + 4 ac + 2 ac = 2 a^{2} + 6 ac$

Thể tích bể $V = a \cdot 2 a \cdot c = 2 a^{2} c = 288 \Rightarrow c = \frac{144}{a^{2}}$

Vậy $S = 2 a^{2} + 6 a \cdot \frac{144}{a^{2}} = 2 a^{2} + \frac{864}{a} = 2 a^{2} + \frac{432}{a} + \frac{432}{a} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{2 a^{2} \cdot \frac{432}{a} \cdot \frac{432}{a}} = 216$ . Vậy $S_{min} = 216 m^{2}$

Chi phí thấp nhất là

216 \times 500000 = 108

triệu đồng.

Câu 2

Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2021. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống đến ngày 30 tháng 4 năm 2018)?

A. 4095000 đồng

B. 89000 đồng.

C. 4005000 đồng.

D. 3960000 đồng

Lời giải

Chọn C

Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1} = 1000$ công sai d = 1000.

Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 (tính đến ngày thứ 89) tổng số tiền bỏ heo là

S_{89} = \frac{89 [2.1000 + (89 - 1) .1000]}{2} = 45.89.1000 = 4005000

đồng.

Câu 3

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy A4 trong một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50000 đồng. Chi phí in ấn của n máy chạy trong một giờ là 20(3n+5) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 bản in khổ giấy A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được nhiều lãi nhất?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(-1;4;2) và có thể thể tích bằng $\frac{256 π}{3}$ . Khi đó phương trình mặt cầu (S) là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 2022; 2022]$ để hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1} - m x - 1$ đồng biến trên R

A. 2021.

B. 2023.

C. 2020.

D. 2022.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Chiến thắng nào của quân dân Việt Nam trong cuộc kháng chiến chống Pháp (1945 - 1954) đã làm phá sản hoàn toàn kế hoạch Nava của thực dân Pháp?

A. Chiến thắng Việt Bắc thu - đông năm 1947.

B. Chiến thắng Điện Biên Phủ năm 1954.

C. Chiến thắng Biên giới thu - đông năm 1950.

D. Chiến thắng trong Đông - Xuân 1953 - 1954.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Thí nghiệm sau mô tả quá trình của phản ứng nhiệt nhôm:

Cho các phát biểu sau:

(a) X là Fe nóng chảy và Y là Al₂O₃ nóng chảy.

(b) Phần khói trắng bay ra là Al₂O_3.

(c) Dải Mg khi đốt được dùng để khơi mào phản ứng nhiệt nhôm.

(d) Phản ứng giữa Al và Fe₂O₃ là phản ứng tỏa nhiệt, nhiệt độ cao nhất lên đến 1000°C.

(e) Phản ứng nhiệt nhôm được sử dụng để điều chế một lượng nhỏ sắt nóng chảy khi hàn đường ray. Số phát biểu đúng là

A. 5

B.3

C. 4

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học