Câu hỏi:

12/07/2024 169

Tính \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}\)

\( = \frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 1 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 1 - \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} + ... + \frac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{\left( {\sqrt {99} + \sqrt {100} } \right)\left( {\sqrt {99} - \sqrt {100} } \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{ - 1}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{ - 1}} + ... + \frac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{ - 1}}\)

\( = \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + ... + \sqrt {100} - \sqrt {99} \)

\( = \sqrt {100} - \sqrt 1 = 10 - 1 = 9\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log₃a – 2log₉b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a = 9b⁴

B. a = 9b

C. a = 6b

D. a = 9b².

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Với a, b > 0 ta có

log₃a – 2log₉b = 2

⇔ log₃a – log₃b = 2

\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{a}{b} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 9\)

⇔ a = 9b

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2

Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).

A. \[a\sqrt 3 \]

B. \(2{\rm{a}}\sqrt 5 \)

C. \[{\rm{a}}\sqrt 5 \]

D. \[{\rm{a}}\sqrt 2 \].

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và góc ABC (ảnh 1)

Gọi H, K là chân đường cao hạ từ A, D xuống BC

Khi đó tam giác ABH vuông tại H

Mà \(\widehat {ABC} = 45^\circ \)

Suy ra tam giác ABH vuông cân tại H

Do đó AH = BH = 2a

Vì hình thang ABCD cân

Nên AB = CD, \(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\), BD = AC

Xét tam giác ABH và tam giác DCK có

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB = CD

\(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\)

Suy ra ∆ABH = ∆DCK (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó CK = BH = 2a

Ta có CH = AD + CK = 2a + 2a = 4a

Xét tam giac AHC vuông tại H có

AC² = AH² + CH²

Suy ra \[{\rm{AC = }}\sqrt {{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2} + {{\left( {4{\rm{a}}} \right)}^2}} = 2{\rm{a}}\sqrt 5 \]

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = AC = 2{\rm{a}}\sqrt 5 \)

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 3