Câu hỏi:
16/08/2023 304
Cho phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [–2019; 2019] để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [–2019; 2019] để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Điều kiện x ∈ ℝ
Ta có: \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow {2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right] = {2^{2\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) (1)
Xét hàm số \(y = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right)\) với t ≥ 0
Hàm số \(y = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right)\) xác định và liên tục trên [0; +∞)
Ta có: \(y' = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right).\ln 2 + \frac{{{2^t}}}{{\left( {t + 2} \right)\ln 2}} > 0\)
Suy ra hàm số \(y = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right)\) đồng biến trên [0; +∞)
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right|} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - m} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x - m} \right)\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {m - x} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2{\rm{x + }}1 = 2x - 2m\\{x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 2m - 2{\rm{x}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4{\rm{x}} - 1 = 2m\\{x^2} + 1 = 2m\end{array} \right.\left( * \right)\)
Xét phương trình 2m = – x2 + 4x – 1
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = – x2 + 4x – 1
Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m < 3 hay \(m < \frac{3}{2}\)
Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 1 nghiệm phân biệt khi 2m = 3 hay \(m = \frac{3}{2}\)
Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 vô nghiệm phân biệt khi 2m > 3 hay \(m > \frac{3}{2}\)
Xét phương trình 2m = x2 + 1
Ta có bảng biến thiên của hàm số h(x) = x2 + 1
Phương trình 2m = x2 + 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m > 1 hay \(m > \frac{1}{2}\)
Phương trình 2m = x2 + 1 có 1 nghiệm phân biệt khi 2m = 1 hay \(m = \frac{1}{2}\)
Phương trình 2m = x2 + 1 vô nghiệm phân biệt khi 2m < 1 hay \(m < \frac{1}{2}\)
+) Khi \(m = \frac{3}{2}\) phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 1 nghiệm x = 2, phương trình 2m = x2 + 1 có 2 nghiệm \[{\rm{x}} = \pm \sqrt 2 \]
Suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt nên loại \(m = \frac{3}{2}\)
+) Khi \(m = \frac{1}{2}\) phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 2 nghiệm \[{\rm{x}} = 2 \pm \sqrt 2 \], phương trình 2m = x2 + 1 có 1 nghiệm x = 0
Suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt nên loại \(m = \frac{1}{2}\)
+) Xét phương trình – x2 + 4x – 1 = x2 + 1
⇔ 2x2 – 4x + 2 = 0
⇔ 2(x – 1)2 = 0
⇔ x = 1
Suy ra không tồn tại m để (*) có 2 nghiệm phân biệt
Để phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) có đúng 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4{\rm{x}} - 1 = 2m\\{x^2} + 1 = 2m\end{array} \right.\left( * \right)\) có đúng hai nghiệm phân biệt
TH1: Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 2 nghiệm phân biệt và phương trình 2m = x2 + 1 vô nghiệm
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
TH2: Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 vô nghiệm và phương trình 2m = x2 + 1 có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{3}{2}\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\)
TH3: Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có nghiệm x = 2 và phương trình 2m = x2 + 1 có nghiệm x = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)
Mà m ∈ [– 2019; 2019]
Nên \(m \in \left[ { - 2019;\left. {\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\left. {2019} \right]} \right.} \right.\)
Vì m nguyên nên ta có 4038 giá trị của m
Vậy ta chọn đáp án C.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a – 2log9b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a – 2log9b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
8,712
Câu 2:
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Xem đáp án »
16/08/2023
8,122
Câu 5:
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 – m) . 2x – m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 – m) . 2x – m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Xem đáp án »
16/08/2023
2,070
Câu 6:
Tìm số nguyên a, b biết \(\frac{a}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{{b + 3}}\).
Tìm số nguyên a, b biết \(\frac{a}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{{b + 3}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
1,725
về câu hỏi!