Cho phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [–2019; 2019] để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [–2019; 2019] để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Điều kiện x ∈ ℝ
Ta có: \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow {2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right] = {2^{2\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) (1)
Xét hàm số \(y = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right)\) với t ≥ 0
Hàm số \(y = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right)\) xác định và liên tục trên [0; +∞)
Ta có: \(y' = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right).\ln 2 + \frac{{{2^t}}}{{\left( {t + 2} \right)\ln 2}} > 0\)
Suy ra hàm số \(y = {2^t}.{\log _2}\left( {t + 2} \right)\) đồng biến trên [0; +∞)
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right|} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - m} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x - m} \right)\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {m - x} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2{\rm{x + }}1 = 2x - 2m\\{x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 2m - 2{\rm{x}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4{\rm{x}} - 1 = 2m\\{x^2} + 1 = 2m\end{array} \right.\left( * \right)\)
Xét phương trình 2m = – x2 + 4x – 1
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = – x2 + 4x – 1
Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m < 3 hay \(m < \frac{3}{2}\)
Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 1 nghiệm phân biệt khi 2m = 3 hay \(m = \frac{3}{2}\)
Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 vô nghiệm phân biệt khi 2m > 3 hay \(m > \frac{3}{2}\)
Xét phương trình 2m = x2 + 1
Ta có bảng biến thiên của hàm số h(x) = x2 + 1
Phương trình 2m = x2 + 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m > 1 hay \(m > \frac{1}{2}\)
Phương trình 2m = x2 + 1 có 1 nghiệm phân biệt khi 2m = 1 hay \(m = \frac{1}{2}\)
Phương trình 2m = x2 + 1 vô nghiệm phân biệt khi 2m < 1 hay \(m < \frac{1}{2}\)
+) Khi \(m = \frac{3}{2}\) phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 1 nghiệm x = 2, phương trình 2m = x2 + 1 có 2 nghiệm \[{\rm{x}} = \pm \sqrt 2 \]
Suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt nên loại \(m = \frac{3}{2}\)
+) Khi \(m = \frac{1}{2}\) phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 2 nghiệm \[{\rm{x}} = 2 \pm \sqrt 2 \], phương trình 2m = x2 + 1 có 1 nghiệm x = 0
Suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt nên loại \(m = \frac{1}{2}\)
+) Xét phương trình – x2 + 4x – 1 = x2 + 1
⇔ 2x2 – 4x + 2 = 0
⇔ 2(x – 1)2 = 0
⇔ x = 1
Suy ra không tồn tại m để (*) có 2 nghiệm phân biệt
Để phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) có đúng 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4{\rm{x}} - 1 = 2m\\{x^2} + 1 = 2m\end{array} \right.\left( * \right)\) có đúng hai nghiệm phân biệt
TH1: Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có 2 nghiệm phân biệt và phương trình 2m = x2 + 1 vô nghiệm
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
TH2: Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 vô nghiệm và phương trình 2m = x2 + 1 có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{3}{2}\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\)
TH3: Phương trình 2m = – x2 + 4x – 1 có nghiệm x = 2 và phương trình 2m = x2 + 1 có nghiệm x = 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)
Mà m ∈ [– 2019; 2019]
Nên \(m \in \left[ { - 2019;\left. {\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\left. {2019} \right]} \right.} \right.\)
Vì m nguyên nên ta có 4038 giá trị của m
Vậy ta chọn đáp án C.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Với a, b > 0 ta có
log3a – 2log9b = 2
⇔ log3a – log3b = 2
\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{a}{b} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 9\)
⇔ a = 9b
Vậy ta chọn đáp án B.
Lời giải
Phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
• Denta: Dùng cho mọi trường hợp
Công thức denta: ∆ = b2 – 4ac
• Denta phẩy: Nên dùng khi hệ số b chia hết cho 2
Công thức denta phẩy: ∆’ = b’2 – ac trong đó b' = b2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo