Câu hỏi:
12/07/2024 1,028
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của: \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.\)
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của: \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}.\)
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz
Nên \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{x{\rm{z}}}} = 1\)
Ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {x^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{x^2}y}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {y^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{y^2}z}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{z{\rm{x}}}} + {z^2}} }} \le \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{{z^2}x}}{{xyz}}} }} \le \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\)
Hay \(P \le \frac{3}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{3}{2}\) khi x = y = z = 1.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a – 2log9b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a – 2log9b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
8,724
Câu 2:
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Xem đáp án »
16/08/2023
8,530
Câu 5:
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 – m) . 2x – m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 – m) . 2x – m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Xem đáp án »
16/08/2023
2,076
Câu 6:
Tìm số nguyên a, b biết \(\frac{a}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{{b + 3}}\).
Tìm số nguyên a, b biết \(\frac{a}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{{b + 3}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
1,746
về câu hỏi!