Định m để bất phương trình (1 – m)x2 + 2mx + m − 6 ≥ 0 có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Để bất phương trình có nghiệm trên 1 đoạn thì f(x) = (1 – m)x2 + 2mx + m – 6 phải là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và hệ số a = 1 – m < 0 ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}m > 1 Delta > 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}m > 1 {m^2} - left( {1 - m} right) left( {m - 6} right) > 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow m in left( {1; frac{3}{2}} right) cup left( {2; + infty } right) ) Để độ dài khoảng nghiệm bằng 1 thì |x1 – x2| = 1 ⇔ (x1 – x2)2 = 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 1 Áp dụng định lí Vi – ét ta có ({x_1} + {x_2} = frac{{2m}}{{m - 1}};{x_1}{x_2} = frac{{m - 6}}{{1 - m}} ) Khi đó ({ left( { frac{{2m}}{{m - 1}}} right)^2} - 4. frac{{m - 6}}{{1 - m}} = 1 ) ( Leftrightarrow { left( { frac{{2m}}{{m - 1}}} right)^2} + 4. frac{{ left( {m - 6} right) left( {m - 1} right)}}{{{{ left( {m - 1} right)}^2}}} = frac{{{{ left( {m - 1} right)}^2}}}{{{{ left( {m - 1} right)}^2}}} ) ⇔ 4m2 + 4(m – 6)(m – 1) = (m – 1)2 ⇔ 4m2 + 4(m2 – 7m + 6) = m2 – 2m + 1 ⇔ 4m2 + 4m2 – 28m + 24 = m2 – 2m + 1 ⇔ 7m2 – 26m + 23 = 0 ( Leftrightarrow m = frac{{13 pm 2 sqrt 2 }}{7} ) Vậy (m = frac{{13 pm 2 sqrt 2 }}{7} ).

Câu hỏi:

12/07/2024 1,341

Định m để bất phương trình (1 – m)x² + 2mx + m − 6 ≥ 0 có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Để bất phương trình có nghiệm trên 1 đoạn thì f(x) = (1 – m)x² + 2mx + m – 6 phải là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ và hệ số a = 1 – m < 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} - \left( {1 - m} \right)\left( {m - 6} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Để độ dài khoảng nghiệm bằng 1 thì |x₁ – x₂| = 1

⇔ (x₁ – x₂)² = 1

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 1

Áp dụng định lí Vi – ét ta có

\({x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}};{x_1}{x_2} = \frac{{m - 6}}{{1 - m}}\)

Khi đó \({\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} - 4.\frac{{m - 6}}{{1 - m}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} + 4.\frac{{\left( {m - 6} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

⇔ 4m² + 4(m – 6)(m – 1) = (m – 1)²

⇔ 4m² + 4(m² – 7m + 6) = m² – 2m + 1

⇔ 4m² + 4m² – 28m + 24 = m² – 2m + 1

⇔ 7m² – 26m + 23 = 0

\( \Leftrightarrow m = \frac{{13 \pm 2\sqrt 2 }}{7}\)

Vậy \(m = \frac{{13 \pm 2\sqrt 2 }}{7}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log₃a – 2log₉b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a = 9b⁴

B. a = 9b

C. a = 6b

D. a = 9b².

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Với a, b > 0 ta có

log₃a – 2log₉b = 2

⇔ log₃a – log₃b = 2

\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{a}{b} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 9\)

⇔ a = 9b

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2

Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).

A. \[a\sqrt 3 \]

B. \(2{\rm{a}}\sqrt 5 \)

C. \[{\rm{a}}\sqrt 5 \]

D. \[{\rm{a}}\sqrt 2 \].

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và góc ABC (ảnh 1)

Gọi H, K là chân đường cao hạ từ A, D xuống BC

Khi đó tam giác ABH vuông tại H

Mà \(\widehat {ABC} = 45^\circ \)

Suy ra tam giác ABH vuông cân tại H

Do đó AH = BH = 2a

Vì hình thang ABCD cân

Nên AB = CD, \(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\), BD = AC

Xét tam giác ABH và tam giác DCK có

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB = CD

\(\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\)

Suy ra ∆ABH = ∆DCK (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó CK = BH = 2a

Ta có CH = AD + CK = 2a + 2a = 4a

Xét tam giac AHC vuông tại H có

AC² = AH² + CH²

Suy ra \[{\rm{AC = }}\sqrt {{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2} + {{\left( {4{\rm{a}}} \right)}^2}} = 2{\rm{a}}\sqrt 5 \]

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = AC = 2{\rm{a}}\sqrt 5 \)

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 3