Định m để bất phương trình (1 – m)x2 + 2mx + m − 6 ≥ 0 có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Để bất phương trình có nghiệm trên 1 đoạn thì f(x) = (1 – m)x2 + 2mx + m – 6 phải là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và hệ số a = 1 – m < 0 ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}m > 1 Delta > 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}m > 1 {m^2} - left( {1 - m} right) left( {m - 6} right) > 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow m in left( {1; frac{3}{2}} right) cup left( {2; + infty } right) ) Để độ dài khoảng nghiệm bằng 1 thì |x1 – x2| = 1 ⇔ (x1 – x2)2 = 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 1 Áp dụng định lí Vi – ét ta có ({x_1} + {x_2} = frac{{2m}}{{m - 1}};{x_1}{x_2} = frac{{m - 6}}{{1 - m}} ) Khi đó ({ left( { frac{{2m}}{{m - 1}}} right)^2} - 4. frac{{m - 6}}{{1 - m}} = 1 ) ( Leftrightarrow { left( { frac{{2m}}{{m - 1}}} right)^2} + 4. frac{{ left( {m - 6} right) left( {m - 1} right)}}{{{{ left( {m - 1} right)}^2}}} = frac{{{{ left( {m - 1} right)}^2}}}{{{{ left( {m - 1} right)}^2}}} ) ⇔ 4m2 + 4(m – 6)(m – 1) = (m – 1)2 ⇔ 4m2 + 4(m2 – 7m + 6) = m2 – 2m + 1 ⇔ 4m2 + 4m2 – 28m + 24 = m2 – 2m + 1 ⇔ 7m2 – 26m + 23 = 0 ( Leftrightarrow m = frac{{13 pm 2 sqrt 2 }}{7} ) Vậy (m = frac{{13 pm 2 sqrt 2 }}{7} ).

Câu hỏi:

12/07/2024 1,321

Định m để bất phương trình (1 – m)x² + 2mx + m − 6 ≥ 0 có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Để bất phương trình có nghiệm trên 1 đoạn thì f(x) = (1 – m)x² + 2mx + m – 6 phải là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ và hệ số a = 1 – m < 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} - \left( {1 - m} \right)\left( {m - 6} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \in \left( {1;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Để độ dài khoảng nghiệm bằng 1 thì |x₁ – x₂| = 1

⇔ (x₁ – x₂)² = 1

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 1

Áp dụng định lí Vi – ét ta có

\({x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}};{x_1}{x_2} = \frac{{m - 6}}{{1 - m}}\)

Khi đó \({\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} - 4.\frac{{m - 6}}{{1 - m}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} + 4.\frac{{\left( {m - 6} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

⇔ 4m² + 4(m – 6)(m – 1) = (m – 1)²

⇔ 4m² + 4(m² – 7m + 6) = m² – 2m + 1

⇔ 4m² + 4m² – 28m + 24 = m² – 2m + 1

⇔ 7m² – 26m + 23 = 0

\( \Leftrightarrow m = \frac{{13 \pm 2\sqrt 2 }}{7}\)

Vậy \(m = \frac{{13 \pm 2\sqrt 2 }}{7}\).

Bình luận

Câu 1:

Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log₃a – 2log₉b = 2, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a = 9b⁴

B. a = 9b

C. a = 6b

D. a = 9b².

Xem đáp án » 16/08/2023 13,426

Câu 2:

Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bẳng 2a và \(\widehat {ABC} = 45^\circ \). Tính \(\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} } \right|\).

A. \[a\sqrt 3 \]

B. \(2{\rm{a}}\sqrt 5 \)

C. \[{\rm{a}}\sqrt 5 \]

D. \[{\rm{a}}\sqrt 2 \].

Xem đáp án » 16/08/2023 11,543

Câu 3:

Khi nào dùng denta và denta phẩy?

Xem đáp án » 12/07/2024 10,533

Câu 4:

Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² ≥ 2ab.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,101

Câu 5:

Tìm số nguyên a, b biết \(\frac{a}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{{b + 3}}\).

Xem đáp án » 12/07/2024 4,985

Câu 6:

Phân tích đa thức thành nhân tử: x² + 2y² – 3xy + x – 2y.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,471

Câu 7:

Cho a, b là hai số thực dương tùy ý và b ≠ 1. Tìm kết luận đúng.

A. ln a + ln b = ln(a + b)

B. ln(a + b) = ln a . ln b

C. ln a – ln b = ln(a – b)

D. \({\log _b}a = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}\).

Xem đáp án » 16/08/2023 3,378

Định m để bất phương trình (1 – m)x² + 2mx + m − 6 ≥ 0 có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)