Câu hỏi:
18/08/2023 346
Cho hàm số \(y = \sqrt {\left( {2m - 1} \right)\sin x - \left( {m + 2} \right)\cos x + 4m - 3} \) (1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2019 của tham số m để hàm số (1) xác định với mọi x ∈ ℝ?
Cho hàm số \(y = \sqrt {\left( {2m - 1} \right)\sin x - \left( {m + 2} \right)\cos x + 4m - 3} \) (1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2019 của tham số m để hàm số (1) xác định với mọi x ∈ ℝ?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: (2m − 1)sin x − (m + 2)cos x + 4m – 3 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
⇔ m(2sin x – cos x + 4) ≥ sin x + 2cos x + 3, ∀x ∈ ℝ (1)
Ta có:
\( - \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \le 2\sin x - \cos x \le \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \)
⇔ \( - \sqrt 5 \le 2\sin x - \cos x \le \sqrt 5 \)
⇔ \( - \sqrt 5 + 4 \le 2\sin x - \cos x + 4 \le \sqrt 5 + 4\)
⇒ 2sin x – cos x + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ
Khi đó ta có (1) ⇔ \(m \ge \frac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x - \cos x + 4}}\), ∀x ∈ ℝ (2).
Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x - \cos x + 4}}\) ta có m ≥ f(x), ∀x ∈ ℝ ⇔ \(m \ge \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} \,\,f\left( x \right).\)
Gọi \(M = \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} \,\,f\left( x \right),\) khi đó tồn tại x ∈ ℝ để \(M = \frac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x - \cos x + 4}}.\)
⇔ 2Msin x – Mcos x + 4M = sin x + 2cos x + 3
⇔ (2M – 1)sin x – (M + 2)cos x = 3 – 4M
Phương trình trên có nghiệm
⇔ \({\left( {2M - 1} \right)^2} + {\left( {M + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4M} \right)^2}\)
⇔ \(4{M^2} - 4M + 1 + {M^2} + 4M + 4 \ge 16{M^2} - 24M + 9\)
⇔ \( - 11{M^2} + 24M - 4 \ge 0\)
⇔ \(\frac{2}{{11}} \le M \le 1\)
⇒ \(M = \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = 1\) ⇒ (2) ⇔ m ≥ 1.
Mặt khác, m là số nguyên dương nhỏ hơn 2019 nên m ∈ {2; 3; 4; 5; ....; 2018} là các giá trị thỏa mãn.
Vậy có 2017 giá trị của m thỏa mãn.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
ĐK: x > 0.
\(\log _2^2x - 2{\log _2}\left( {2x} \right) - 1 = 0\) ⇔ \(\log _2^2x - 2{\log _2}2 - 2{\log _2}x - 1 = 0\)
⇔ \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - 3 = 0\) (*)
Đặt log2x = t. Khi đó ta có:
(*) ⇔ \({t^2} - 2t - 3 = 0\) ⇔ (t + 1)(t – 3) = 0
⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 1 = 0}\\{t - 3 = 0}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = 3}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = - 1}\\{{{\log }_2}x = 3}\end{array}} \right.\)
⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\left( {tm} \right)}\\{x = {2^3} = 8\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)
⇒ \({x_1}{x_2} = \frac{1}{2}.8 = 4.\)
Lời giải
Ta có: \(2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \)
Do đó: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \) ⇒ \(4\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AE} .\)
Vậy IJ // AE và 4IJ = AE.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)