Câu hỏi:

18/08/2023 2,602

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.

a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.

c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.

d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các (ảnh 1)

a) Xét DABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC và BC nên DE là đường trung bình của tam giác

Do đó DE // AB hay DE // AF.

Ta có AB ⊥ AC và DE // AB nên DE ⊥ AC hay \(\widehat {ADE} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADEF có: \(\widehat {FAD} = \widehat {ADE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \)

Do đó ADEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Tứ giác AECG có hai đường chéo AC và GE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo EG ⊥ AC (do DE ⊥ AC)

Do đó AECG là hình thoi.

c) Do ADEF là hình chữ nhật nên hai đường chéo AE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay O là trung điểm của AE.

Do AECG là hình thoi nên EC // AG và EC = AG

Lại có BE = EC (do E là trung điểm của BC) nên BE = AG.

Xét tứ giác ABEG có BE // AG (do EC // AG) và BE = AG

Do đó ABEG là hình bình hành

Suy ra hai đường chéo AE và BG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của AE nên O là trung điểm của BG

Do đó ba điểm B, O, G thẳng hàng.

d) Do ADEF là hình chữ nhật nên AF = DE.

Mà DE = DG nên DG = AF.

Xét tứ giác AFDG có: DG = AF và DG // AF (do DE // AB)

Do đó AFDG là hình bình hành.

Suy ra AG // DF

Lại có EH ⊥ AG nên EH ⊥ DF

Xét DEHG vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Nên HD = ED = \(\frac{{}}{{}}\)\(\frac{1}{2}EG\)

Khi đó ∆EDH là tam giác cân tại D

Suy ra đường cao DF của tam giác đồng thời là đường phân giác.

Hay \(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\)

Xét ∆EDF và ∆HDF có:

DF là cạnh chung;

\(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\)(chứng minh trên);

ED = HD (chứng minh trên)

Do đó ∆EDF = ∆HDF (c.g.c)

Suy ra (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {FED} = 90^\circ \)(do ADEF là hình chữ nhật)

Do đó \(\widehat {FHD} = 90^\circ \)nên tam giác DHF vuông tại H.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.

b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.

c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC) (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

AB = BE(gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BD chung

Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).

b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)

Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)

Do đó: DE ⊥ BC.

c) Gọi I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:

AB = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BI chung

Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).

⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)

Hay BI ⊥ AE

Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Theo câu b) ta có AD = DE

Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:

AD = DE(cmt)

\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)

AF = CE(gt)

Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)

⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)

Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.

Câu 2

Phép cộng, trừ 2 số cùng số mũ.

Xem đáp án

Lời giải

Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.

Ví dụ: 3² – 2² = 9 – 4 = 5

3² – 2² ≠ (3 – 2)² = 1.

Câu 3