Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)
Lại có OA = OB = R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó MO ⊥ AB tại K và K là trung điểm AB.
b) Xét ∆OHM và ∆OKI, có:
\(\widehat O\) chung.
\(\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = 90^\circ \)
Do đó ∆OHM ∽ ∆OKI (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OM}}{{OI}}\)
Do đó OH.OI = OM.OK.
Xét ∆AOM vuông tại A có AK là đường cao:
OA2 = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy OH.OI = OA2 = OB2 (điều phải chứng minh).
c) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \)(giả thiết)
Suy ra O, A, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Tương tự, ta có O, H, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Khi đó tứ giác AHOM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {AHI}\) (1)
Ta có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)(MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Do đó tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Vì vậy \(\widehat {AMO} = \widehat {ABO}\)(2)
Từ (1), (2), suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\)
Xét ∆IHN và ∆IKO, có:
\(\widehat I\)chung.
\(\widehat {IHN} = \widehat {IKO} = 90^\circ \)
Do đó: ∆IHN ∽ ∆IKO (g.g).
Suy ra \(\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{IO}}\)
Do đó IH.IO = IN.IK (3)
Xét ∆AHI và ∆OBI, có:
\(\widehat I\) chung.
\(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\)(chứng minh trên).
Do đó ∆AHI ~ ∆OBI (g.g).
Suy ra \(\frac{{IA}}{{IO}} = \frac{{IH}}{{IB}}\)
Do đó IA.IB = IH.IO (4)
Từ (3), (4), suy ra IA.IB = IN.IK (điều phải chứng minh).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
AB = BE(gt)
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))
Cạnh BD chung
Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).
b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)
Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)
Do đó: DE ⊥ BC.
c) Gọi I là giao điểm của BD và AE.
Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:
AB = BE (gt)
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))
Cạnh BI chung
Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).
⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)
Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)
Hay BI ⊥ AE
Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.
Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.
d) Theo câu b) ta có AD = DE
Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:
AD = DE(cmt)
\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)
AF = CE(gt)
Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)
⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)
Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.
Lời giải
Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.
Ví dụ: 32 – 22 = 9 – 4 = 5
32 – 22 ≠ (3 – 2)2 = 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo