Câu hỏi:
18/08/2023 185
Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Từ điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến cắt đường tròn tại A và B (IA < IB). Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. OM cắt AB tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm của AB.
b) Vẽ MH ⊥ OI tại H. Chứng minh OB2 = OH.OI.
c) Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh IA.IB = IK.IN.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M.
Suy ra MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)
Lại có OA = OB = R.
Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)
Từ (1), (2), suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó MO ⊥ AB tại K và K là trung điểm AB.
b) Xét ∆OHM và ∆OKI, có:
\(\widehat O\) chung.
\(\widehat {OHM} = \widehat {OKI} = 90^\circ \)
Do đó ∆OHM ∽ ∆OKI (g.g).
Suy ra \(\frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{OM}}{{OI}}\)
Do đó OH.OI = OM.OK.
Xét ∆AOM vuông tại A có AK là đường cao:
OA2 = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy OH.OI = OA2 = OB2 (điều phải chứng minh).
c) Ta có \(\widehat {OAM} = 90^\circ \)(giả thiết)
Suy ra O, A, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Tương tự, ta có O, H, M nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Khi đó tứ giác AHOM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {AHI}\) (1)
Ta có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \)(MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Do đó tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Vì vậy \(\widehat {AMO} = \widehat {ABO}\)(2)
Từ (1), (2), suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\)
Xét ∆IHN và ∆IKO, có:
\(\widehat I\)chung.
\(\widehat {IHN} = \widehat {IKO} = 90^\circ \)
Do đó: ∆IHN ∽ ∆IKO (g.g).
Suy ra \(\frac{{IH}}{{IK}} = \frac{{IN}}{{IO}}\)
Do đó IH.IO = IN.IK (3)
Xét ∆AHI và ∆OBI, có:
\(\widehat I\) chung.
\(\widehat {ABO} = \widehat {AHI}\)(chứng minh trên).
Do đó ∆AHI ~ ∆OBI (g.g).
Suy ra \(\frac{{IA}}{{IO}} = \frac{{IH}}{{IB}}\)
Do đó IA.IB = IH.IO (4)
Từ (3), (4), suy ra IA.IB = IN.IK (điều phải chứng minh).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.
b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.
c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.
Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.
b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.
c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.
Xem đáp án »
18/08/2023
23,787
Câu 4:
Một cửa hàng nhập về 50 chiếc túi xách với giá góc 150 000 đồng/cái. Cửa hàng đã bán 30 chiếc với giá mỗi chiếc lãi 30% so với giá gốc, 20 chiếc còn lại bán lỗ 5% so với giá gốc. Hỏi sau khi bán hết 50 chiếc túi xách cửa hàng đó lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?
Một cửa hàng nhập về 50 chiếc túi xách với giá góc 150 000 đồng/cái. Cửa hàng đã bán 30 chiếc với giá mỗi chiếc lãi 30% so với giá gốc, 20 chiếc còn lại bán lỗ 5% so với giá gốc. Hỏi sau khi bán hết 50 chiếc túi xách cửa hàng đó lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?
Xem đáp án »
18/08/2023
7,803
Câu 5:
Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.
Xem đáp án »
18/08/2023
7,687
Câu 6:
Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc có thể làm 40 giờ/tuần và tốn 6h làm 1 cái bàn, 3h làm 1 cái ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp 3 lần số bàn. Một cái bàn chiếm chỗ bằng 3 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần. Hỏi người thợ mộc phải sản xuất như nào để có tiền lãi thu về là lớn nhất.
Một người thợ mộc làm những cái bàn và những cái ghế. Mỗi cái bàn khi bán lãi 150 nghìn đồng, mỗi cái ghế khi bán lãi 50 nghìn đồng. Người thợ mộc có thể làm 40 giờ/tuần và tốn 6h làm 1 cái bàn, 3h làm 1 cái ghế. Khách hàng yêu cầu người thợ mộc làm số ghế ít nhất là gấp 3 lần số bàn. Một cái bàn chiếm chỗ bằng 3 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần. Hỏi người thợ mộc phải sản xuất như nào để có tiền lãi thu về là lớn nhất.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,611
Câu 7:
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác góc A?
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài phân giác góc A?
Xem đáp án »
18/08/2023
6,588
về câu hỏi!