Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì.

a) Chứng minh: \[\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \].

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

a) \[\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \]

\[ = \overrightarrow {DA} .\left( {\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \]

\[ = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \]

\[ = \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {DC} - \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {DA} .} \right)\overrightarrow {DB} \]

\[ = \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} \]

\[ = \overrightarrow 0 \].

b) Xét tam giác ABC

Gọi BD và CE là đường cao của tam giác ABC
Gọi H là giao điểm của BD và CE

Theo chứng minh câu a, ta có phương trình đúng sau, với 4 điểm A,B,C,H

\[\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \]

Vì BH ⊥ AC và CH ⊥ AB nên:

\[\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \]

Do đó: \[\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra: AH ⊥ BC

Vậy 3 đường cao đồng quy tại H.