Câu hỏi:

18/08/2023 7,138

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH, gọi D là trung điểm của AC lấy E đối xứng H qua D .

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Qua A kẻ tia AI // HE cắt đường thẳng BC tại I. Chứng minh tứ giác AEHI là hình bình hành.

c) Trên tia đối của tia HA lấy K sao cho AH = HK. Chứng minh AK là tia phân giác của góc \(\widehat {IAC}\).

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác CAIK là hình vuông , khi đó tứ giác AHCE là hình gì ?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH, gọi D là trung điểm (ảnh 1)

a) Vì E đối xứng với H qua D nên D là trung điểm của HE

Ta có:

Tứ giác AHC có hai đường chéo HE và AC cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường

⇒ AHCE là hình bình hành

Mà AH ⊥ HC

Nên AHCE là hình chữ nhật

b) Vì AHCE là hình chữ nhật

nên AE // HC hay AE // IH

Xét tứ giác AEHI có:

AE // HI

AI // HE

Do đó AEHI là hình bình hành

c) Ta có: AE = HC (AHCE là hình chữ nhật)

mà AE = HI (AEHI là hình bình hành)

⇒ HC = HI

Xét ΔIHA và ΔCHA có:

HI = HC (cmt)

\(\widehat {IHA} = \widehat {CHA}\) (= 90° vì AH là đường cao của Δ ABC)

HA là cạnh chung

⇒ ΔIHA = ΔCHA(c.g.c)

⇒ \(\widehat {HAC} = \widehat {HAI}\) (hai góc tương ứng)

⇒ AK là tia phân giác của \(\widehat {IAC}\)

d) Xét tứ giác CAIK có:

HI = HC(cmt)

AH = HK (gt)

⇒ Hai đường chéo CI và AK cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường

⇒ CAIK là hình bình hành

Hình bình hành CAIK có đường chéo AK là đường phân giác của \(\widehat {IAC}\) (cmt tại câu c )

⇒ CAIK là hình thoi

Hình thoi CAIK là hình vuông (có góc = 90°)

⇒ AK = IC

⇒ AH = HC

⇒ AH vừa là đường cao,đường trung tuyến của ΔABC

⇒ ΔABC là Δ vuông, cân tại A

Hình chữ nhật AHCE có hai cạnh kề bằng nhau ( AH = HC)

⇒ AHCE là hình vuông

Vậy ΔABC là Δ vuông và cân tại A

⇒ Tứ giác CAIK là hình vuông

⇒ Tứ giác AHCE là hình vuông.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.

b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.

c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC) (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

AB = BE(gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BD chung

Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).

b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)

Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)

Do đó: DE ⊥ BC.

c) Gọi I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:

AB = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BI chung

Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).

⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)

Hay BI ⊥ AE

Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Theo câu b) ta có AD = DE

Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:

AD = DE(cmt)

\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)

AF = CE(gt)

Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)

⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)

Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.

Câu 2

Phép cộng, trừ 2 số cùng số mũ.

Xem đáp án

Lời giải

Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.

Ví dụ: 3² – 2² = 9 – 4 = 5

3² – 2² ≠ (3 – 2)² = 1.

Câu 3