Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x + 2009 = y2.

Câu hỏi:

18/08/2023 2,960

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x² + x + 2009 = y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

x² + x + 2009 = y²

⇔ 4x² + 4x + 8036 = 4y²

⇔ (2x + 1)² + 8035 = (2y)²

⇔ (2y)²– (2x + 1)² = 8035

⇒ (2y − 2x − 1)(2y + 2x + 1) = 8035
⇒ (2y − 2x − 1, 2y + 2x + 1) là cặp nghiệm của 8035
Mà 2y − 2x – 1 + 2y + 2x + 1 = 4y ⋮ 4
⇒ (2y − 2x − 1, 2y + 2x + 1) ∈ {(1, 8035); (8035, 1); (5, 1607); (1607, 5); (−1, −8035); (−8035, −1); (−5, −1607); (−1607, −5)}

⇒(2y − 2x, 2y + 2x) ∈ {(2, 8034); (8036, 0); (6, 1606); (1608, 4); (0, −8036); (−8034, −2); (−4, −1608); (−1606, −6)}

⇒(y − x, y + x) ∈ {(1, 4017); (4017, 0); (3, 803); (803, 2); (0, −4017); (−4017, −1); (−2, −8004); (−8004, −3)}.

Vì y – x ; y + x chẵn

⇒ (y − x, y + x) ∈ {(1, 4017); (3, 803); (−4017, −1); (−2, −8004)}

⇒ (2y, 2x) ∈ {(4018, 4016); (806, 800); (−4018, 4016); (−8006, −8002)}

⇒ (y, x) ∈ {(2009, 2008); (403, 400); (−2009, 2008); (−4003, −4001)}.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.

b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.

c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC) (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

AB = BE(gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BD chung

Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).

b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)

Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)

Do đó: DE ⊥ BC.

c) Gọi I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:

AB = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BI chung

Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).

⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)

Hay BI ⊥ AE

Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Theo câu b) ta có AD = DE

Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:

AD = DE(cmt)

\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)

AF = CE(gt)

Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)

⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)

Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.

Câu 2

Phép cộng, trừ 2 số cùng số mũ.

Xem đáp án

Lời giải

Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.

Ví dụ: 3² – 2² = 9 – 4 = 5

3² – 2² ≠ (3 – 2)² = 1.

Câu 3