Câu hỏi:

18/08/2023 1,000

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:
a) Tứ giác ABHM nội tiếp.
b) OA.OB = OH.OM = R².
c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông (ảnh 1)

a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra EF ⊥ OM

Tứ giác ABHM có \(\widehat A = \widehat H = 90^\circ \) nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.

b) Xét ΔOHB và ΔOAM có:

Chung \(\widehat O\)

\(\widehat {OHB} = \widehat {OAM} = 90^\circ \)

⇒ ΔOHB ∽ ΔOAM (g.g)

⇒ \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{AM}}\)

⇒ OA.OB = OH.OM(1)

Tương tự: ΔOHE ∽ ΔOEM (g.g)

⇒ \(\frac{{OH}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OM}}\)

⇒ OH.OM = OE² = R²

⇒ OH.OM = R² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA.OB = OH.OM = R²

c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

Do suy ra \(\widehat {MFI} = \widehat {EFI}\)

Suy ra FI là phân giác của góc \(\widehat {MFE}\)

Lại có MI là phân giác của góc \(\widehat {EMF}\)

Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.

d) Diện tích tam giác HBO: S_HBO = \(\frac{1}{2}HO.HB\)

Xét ΔOHB ∽ ΔOAM (g.g)

⇒ \(\frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{OM}}\)

⇒ HB.OM = AM.OB (3)

Có: OH.OM = R²(4)

Nhân (3) và (4) vế với vế ta được: OH.HB.OM² = R².AM.OB = R² . AM . \(\frac{{{R^2}}}{{OA}}\)

⇒ OH.HB = \({R^4}.\frac{{AM}}{{OA.O{M^2}}} = {R^4}.\frac{{AM}}{{OA.\left( {O{A^2} + A{M^2}} \right)}}\)

Áp dụng BĐT Cô si với OA và AM ta có: \(O{A^2} + A{M^2} \ge 2\sqrt {O{A^2}.A{M^2}} = 2.OA.AM\)

Dấu "=" xảy ra khi: OA = AM

⇒ OH.HB ≤ \({R^2}.\frac{{AM}}{{OA.2.OA.AM}} = \frac{{{R^2}}}{{4.O{A^2}}}\)

Suy ra: S_max = \(\frac{{{R^2}}}{{4.O{A^2}}}\) khi OA = AM.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)(D ∈ AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.

b) Chứng minh: DE = AD và DE vuông góc với BC.

c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC) (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

AB = BE(gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)(do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BD chung

Suy ra ΔABD = ΔEBD (c−g−c).

b) Theo câu a) ta có ΔABD = ΔEBD(c−g−c)

Nên DE = AD (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = 90^\circ \)(hai góc tương ứng)

Do đó: DE ⊥ BC.

c) Gọi I là giao điểm của BD và AE.

Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:

AB = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do BD là phân giác \(\widehat {ABD}\))

Cạnh BI chung

Suy ra ΔABI = ΔEBI (c−g−c).

⇒ IA = IE, \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE}\)

Mà \(\widehat {BIA} + \widehat {BIE} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {BIA} = \widehat {BIE} = 90^\circ \)

Hay BI ⊥ AE

Từ đó ta có BD ⊥ AE tại I và I là trung điểm AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn AE.

d) Theo câu b) ta có AD = DE

Xét tam giác ADF và tam giác EDC có:

AD = DE(cmt)

\(\widehat {FAD} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)

AF = CE(gt)

Suy ra ΔADF = ΔEDC (c−g−c)

⇒ \(\widehat {ADF} = \widehat {CDF}\)

Mà A, D, C thẳng hàng nên suy ra F, D, E thẳng hàng.

Câu 2

Phép cộng, trừ 2 số cùng số mũ.

Xem đáp án

Lời giải

Không có công thức về cộng, trừ lũy thừa, ta thực hiện phép tính lũy thừa sau đó thực hiện cộng, trừ thông thường.

Ví dụ: 3² – 2² = 9 – 4 = 5

3² – 2² ≠ (3 – 2)² = 1.

Câu 3