Cho số phức z thỏa mãn z+i+1=z¯−2i. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ) ⇒z¯=x−yi Ta có: z+i+1=z¯−2i ⇔x+12+y+12=x2+−y−22 Û (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2 Û x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = x2 + y2 + 4y + 4 Û 2x − 2y = 2 Û x − y = 1 Û x = y + 1 Khi đó, mô đun của số phức z là: z=x2+y2=y+12+y2=y2+2y+1+y2 =2y2+2y+1=2y2+2 . 2y . 12+12+12 =y2+122+12≥22 Dấu “=” xảy ra ⇔y2=−12⇔y=−12⇒x=12. Vậy GTNN của |z| là 22 khi x=12, y=−12.

Câu hỏi:

23/08/2023 153

Cho số phức z thỏa mãn $|z + i + 1| = |\bar{z} - 2 i|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ)

$\Rightarrow \bar{z} = x - y i$

Ta có: $|z + i + 1| = |\bar{z} - 2 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(- y - 2)}^{2}}$

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y + 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² + 4y + 4

Û 2x − 2y = 2

Û x − y = 1

Û x = y + 1

Khi đó, mô đun của số phức z là:

$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(y + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{y^{2} + 2 y + 1 + y^{2}}$

$= \sqrt{2 y^{2} + 2 y + 1} = \sqrt{(2 y^{2} + 2 . \sqrt{2} y . \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}}$

$= \sqrt{{(y \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + \frac{1}{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow y \sqrt{2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy GTNN của |z| là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi $x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3