Cho số phức z thỏa mãn z+i+1=z¯−2i. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ) ⇒z¯=x−yi Ta có: z+i+1=z¯−2i ⇔x+12+y+12=x2+−y−22 Û (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2 Û x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = x2 + y2 + 4y + 4 Û 2x − 2y = 2 Û x − y = 1 Û x = y + 1 Khi đó, mô đun của số phức z là: z=x2+y2=y+12+y2=y2+2y+1+y2 =2y2+2y+1=2y2+2 . 2y . 12+12+12 =y2+122+12≥22 Dấu “=” xảy ra ⇔y2=−12⇔y=−12⇒x=12. Vậy GTNN của |z| là 22 khi x=12, y=−12.

Câu hỏi:

23/08/2023 110

Cho số phức z thỏa mãn $|z + i + 1| = |\bar{z} - 2 i|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ)

$\Rightarrow \bar{z} = x - y i$

Ta có: $|z + i + 1| = |\bar{z} - 2 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(- y - 2)}^{2}}$

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y + 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² + 4y + 4

Û 2x − 2y = 2

Û x − y = 1

Û x = y + 1

Khi đó, mô đun của số phức z là:

$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(y + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{y^{2} + 2 y + 1 + y^{2}}$

$= \sqrt{2 y^{2} + 2 y + 1} = \sqrt{(2 y^{2} + 2 . \sqrt{2} y . \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}}$

$= \sqrt{{(y \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + \frac{1}{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow y \sqrt{2} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy GTNN của |z| là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi $x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,931

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án » 13/07/2024 12,833

Câu 3:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,258

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án » 23/08/2023 7,880

Câu 5:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 6,891

Câu 6:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,159

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,094

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP