Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn fx+f−x=2+2cos2x, ∀x∈ℝ. Tính I=∫−3π23π2fxdx.

Ta có: fx+f−x=2+2cos2x =2+22cos2x−1=2cos2x=2cosx Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt Khi đó: I=∫−3π23π2fxdx=−∫3π2−3π2f−tdt=∫−3π23π2f−tdt=∫−3π23π2f−xdx ⇒2I=∫−3π23π2fxdx+∫−3π23π2f−xdx=∫−3π23π2fx+f−xdx =∫−3π23π22cosxdx=−2∫−3π23π2cosxdx =−2sinx−3π23π2=−2sin3π2+2sin−3π2 = (−2).(−1) + 2.1 = 4 Vậy I=∫−3π23π2fxdx=2.

Câu hỏi:

23/08/2023 166

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn

$f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}, \forall x \in ℝ$ . Tính $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Đề ĐGNL Hà Nội Đề ĐGNL Tp.Hồ Chí Minh Đề ĐGTD Bách Khoa HN

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}$

$= \sqrt{2 + 2 (2 \cos^{2} x - 1)} = 2 \sqrt{\cos^{2} x} = 2 |\cos x|$

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{3 π}{2}}^{- \frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} 2 |\cos x| d x = - 2 \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x$

$= {- 2 \sin x|}_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \sin (- \frac{3 π}{2})$

= (−2).(−1) + 2.1 = 4

Vậy $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = 2$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,009

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án » 13/07/2024 12,984

Câu 3:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,366

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án » 23/08/2023 7,947

Câu 5:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 7,394

Câu 6:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,193

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,155

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP