Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = (2m − 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ − 3x² + 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là: 

$a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}=d{x}^2+ex+1$

$\iff a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=0\left(*\right)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

$\iff a\left(x+3\right)\left(x^2-1\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

$\iff a{x}^3+3a{x}^2-ax-3a=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}3a=b-d\\ -a=c-e\\ -3a=-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b-d=\frac{3}{2}\\ c-e=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{8}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}\right)\right|}_{-3}^{-1}+{\left.\left(-\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}\right)\right|}_{-1}^1$

$=\frac{{\left(-1\right)}^4}{8}+\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{4}-\frac{3.\left(-1\right)}{2}-\frac{{\left(-3\right)}^4}{8}-\frac{{\left(-3\right)}^3}{2}+\frac{{\left(-3\right)}^2}{4}+\frac{3.\left(-3\right)}{2}$

$-\frac{1^4}{8}-\frac{1^3}{2}+\frac{1^2}{4}+\frac{3.1}{2}+\frac{{\left(-1\right)}^4}{8}+\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{4}-\frac{3.\left(-1\right)}{2}$

$=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-\frac{81}{8}+\frac{27}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}$= 4.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

ax³ + bx² + cx − 2 = dx² + ex + 2

Û ax³ + (b − d)x² + (c − e)x − 4 = 0 (1)

Vì phương trình (1) có các nghiệm −2; −1; 1 nên: 

$\left\{\begin{array}{l}a.{\left(-2\right)}^3+\left(b-d\right).{\left(-2\right)}^2+\left(c-e\right).\left(-2\right)-4=0\\ a.{\left(-1\right)}^3+\left(b-d\right).{\left(-1\right)}^2+\left(c-e\right).\left(-1\right)-4=0\\ a.1^3+\left(b-d\right).1^2+\left(c-e\right).1-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-8a+4\left(b-d\right)-2\left(c-e\right)-4=0\\ -a+\left(b-d\right)-\left(c-e\right)-4=0\\ a+\left(b-d\right)+\left(c-e\right)-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3a-3\left(b-d\right)+6=0\\ 2\left(b-d\right)-8=0\\ a+\left(b-d\right)+\left(c-e\right)-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=b-d-2\\ b-d=4\\ a+\left(b-d\right)+\left(c-e\right)=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b-d=4\\ c-e=4-a-\left(b-d\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b-d=4\\ c-e=-2\end{array}\right.$

Diện tích hình phẳng cần tìm là: 

$S=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-4\right]dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[-a{x}^3-\left(b-d\right)x^2-\left(c-e\right)x+4\right]dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[2x^3+4x^2-2x-4\right]dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[-2x^3-4x^2+2x+4\right]dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{2}+\frac{4x^3}{3}-x^2-4x\right)\right|}_{-2}^{-1}+{\left.\left(-\frac{x^4}{2}-\frac{4x^3}{3}+x^2+4x\right)\right|}_{-1}^1$

$=\frac{{\left(-1\right)}^4}{2}+\frac{4.{\left(-1\right)}^3}{3}-{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)-\frac{{\left(-2\right)}^4}{2}-\frac{4.{\left(-2\right)}^3}{3}+{\left(-2\right)}^2-4.\left(-2\right)$

$-\frac{1^4}{2}-\frac{4.1^3}{3}+1^2+4.1+\frac{{\left(-1\right)}^4}{2}+\frac{4.{\left(-1\right)}^3}{3}-{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)$

$=\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-1+4-8+\frac{32}{3}+4+8-\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+1+4+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-1+4$

$=\frac{37}{6}$