Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA→ . OB→ trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB; b) Điểm O nằm trong đoạn AB.

a) Khi O nằm ngoài đoạn AB ta có: OA→ . OB→=OA→ . OB→ . cos0°=a . b . cos0°=a . b b) Khi O nằm giữa hai điểm A và B ta có: OA→ . OB→=OA→ . OB→ . cos180°=a . b . cos180°=−a . b

Câu hỏi:

19/08/2025 293

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn AB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Khi O nằm ngoài đoạn AB ta có:

$\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos 0 ° = a . b . \cos 0 ° = a . b$

b) Khi O nằm giữa hai điểm A và B ta có: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos 180 ° = a . b . \cos 180 ° = - a . b$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2} = d x^{2} + e x + 1$

$\Leftrightarrow a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2} = 0 (*)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a (x + 3) (x + 1) (x - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a (x + 3) (x^{2} - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 3 a x^{2} - a x - 3 a = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\{\begin{cases} 3 a = b - d \\ - a = c - e \\ - 3 a = - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b - d = \frac{3}{2} \\ c - e = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2})|}_{- 3}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2})|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2} - \frac{{(- 3)}^{4}}{8} - \frac{{(- 3)}^{3}}{2} + \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{3 . (- 3)}{2}$

$- \frac{1^{4}}{8} - \frac{1^{3}}{2} + \frac{1^{2}}{4} + \frac{3 . 1}{2} + \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{81}{8} + \frac{27}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ = 4.

Câu 2

Cho hai hàm số f (x) = ax³ + bx² + cx − 2 và g (x) = dx² + ex + 2 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

ax³ + bx² + cx − 2 = dx² + ex + 2

Û ax³ + (b − d)x² + (c − e)x − 4 = 0 (1)

Vì phương trình (1) có các nghiệm −2; −1; 1 nên:

$\{\begin{cases} a . {(- 2)}^{3} + (b - d) . {(- 2)}^{2} + (c - e) . (- 2) - 4 = 0 \\ a . {(- 1)}^{3} + (b - d) . {(- 1)}^{2} + (c - e) . (- 1) - 4 = 0 \\ a . 1^{3} + (b - d) . 1^{2} + (c - e) . 1 - 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 8 a + 4 (b - d) - 2 (c - e) - 4 = 0 \\ - a + (b - d) - (c - e) - 4 = 0 \\ a + (b - d) + (c - e) - 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 3 (b - d) + 6 = 0 \\ 2 (b - d) - 8 = 0 \\ a + (b - d) + (c - e) - 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b - d - 2 \\ b - d = 4 \\ a + (b - d) + (c - e) = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b - d = 4 \\ c - e = 4 - a - (b - d) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b - d = 4 \\ c - e = - 2 \end{cases}$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 2}^{- 1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{- 1}^{1} [g (x) - f (x)] d x$

$= \int_{- 2}^{- 1} [a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - 4] d x + \int_{- 1}^{1} [- a x^{3} - (b - d) x^{2} - (c - e) x + 4] d x$

$= \int_{- 2}^{- 1} [2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 4] d x + \int_{- 1}^{1} [- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4] d x$

$= {(\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x)|}_{- 2}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x)|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{2} + \frac{4 . {(- 1)}^{3}}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 . (- 1) - \frac{{(- 2)}^{4}}{2} - \frac{4 . {(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 4 . (- 2)$

$- \frac{1^{4}}{2} - \frac{4 . 1^{3}}{3} + 1^{2} + 4 . 1 + \frac{{(- 1)}^{4}}{2} + \frac{4 . {(- 1)}^{3}}{3} - {(- 1)}^{2} - 4 . (- 1)$

$= \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 1 + 4 - 8 + \frac{32}{3} + 4 + 8 - \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 1 + 4 + \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 1 + 4$

$= \frac{37}{6}$

Câu 3