Giải phương trình: sin4x + ({ cos ^4} left( {x + frac{ pi }{4}} right) = frac{1}{4} ).

sin4x + ({ cos ^4} left( {x + frac{ pi }{4}} right) = frac{1}{4} ) ⇔ sin4x + ({ left( { cos x. frac{1}{{ sqrt 2 }} - sin x. frac{1}{{ sqrt 2 }}} right)^4} = frac{1}{4} ) ⇔ sin4x + ( frac{1}{4}{ left( { cos x - sin x} right)^4} = frac{1}{4} ) ⇔ sin4x + ( frac{1}{4}{ left[ {{{ left( { cos x - sin x} right)}^2}} right]^2} = frac{1}{4} ) ⇔ sin4x + ( frac{1}{4}{ left( {{{ cos }^2}x - 2 sin x cos x + {{ sin }^2}x} right)^2} = frac{1}{4} ) ⇔ sin4x + ( frac{1}{4}{ left( {1 - 2 sin x cos x} right)^2} = frac{1}{4} ) ⇔ sin4x + sin2xcos2x – sinxcosx = 0 ⇔ sinx(sin3x + sinxcos2x – cosx) = 0 ⇔ ( left[ begin{array}{l} sin x = 0 left( 1 right) { sin ^3}x + sin x{ cos ^2}x - cos x = 0 left( 2 right) end{array} right. ) (1): x = kπ (2): sinx(sin2 + cos2x) – cosx = 0 ⇔ sinx – cosx = 0 ⇔ ( sin left( {x - frac{ pi }{4}} right) = 0 ) ⇔ (x = frac{ pi }{4} + k pi left( {k in mathbb{Z}} right) ) Vậy phương trình có nghiệm: (x = frac{ pi }{4} + k pi left( {k in mathbb{Z}} right) ).

Câu hỏi:

13/07/2024 3,450

Giải phương trình: sin⁴x + \({\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

sin⁴x + \({\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \({\left( {\cos x.\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \sin x.\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^4} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left[ {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}} \right]^2} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left( {{{\cos }^2}x - 2\sin x\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + \(\frac{1}{4}{\left( {1 - 2\sin x\cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

⇔ sin⁴x + sin²xcos²x – sinxcosx = 0

⇔ sinx(sin³x + sinxcos²x – cosx) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\left( 1 \right)\\{\sin ^3}x + \sin x{\cos ^2}x - \cos x = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(1): x = kπ

(2): sinx(sin² + cos²x) – cosx = 0

⇔ sinx – cosx = 0

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một vận động viên bơi về phía Bắc với vận tốc 1,7 m/s. Nước sông chảy với vận tốc 1 m/s về phía Đông. Tính độ lớn và hướng vận tốc tổng hợp của vận động viên?

Xem đáp án

Lời giải

Một vận động viên bơi về phía Bắc với vận tốc 1,7 m/s. Nước sông chảy với vận tốc 1 (ảnh 1)

Độ lớn vận tốc tổng hợp của vận động viên là:

\(\overrightarrow v \)_{tổng hợp} = \(\overrightarrow v \) + \(\overrightarrow v \)_nước

Suy ra: v_{tổng hợp} = \(\sqrt {{v^2} + {v_{nuoc}}^2} = \sqrt {1,{7^2} + {1^2}} = 1,97\left( {m/s} \right)\)

Hướng vận tốc tổng hợp của vận động viên hợp với bờ sông 1 góc là:

\(\tan \alpha = \frac{v}{{{v_{nuoc}}}} = \frac{{1,7}}{1} = 1,7 \Rightarrow \alpha \approx 59,53^\circ \)

Câu 2

Hàm số y = f(x² + 2x) nghịch biến trên khoảng nào?

x

–∞

–2

1

3                    +∞

f'(x)

–

0           +

0             –

0            –

Xem đáp án

Lời giải

y = f(x² + 2x)

y' = (2x + 2)f'(x² + 2x)

Xét y' = 0 ta có: (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}2x + 2 = 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x = - 2\\{x^2} + 2x = 1\\{x^2} + 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = - 3\\x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số y = f(x^2 + 2x) nghịch biến trên khoảng nào x - vô cùng -2 1 3 + vô cùng (ảnh 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên (–3; –1) và (1; +∞)

Câu 3