Câu hỏi:

12/07/2024 711

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE,BOCF là hình vuông.

b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ⊥ CD.

c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6 .Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD.

d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối (ảnh 1)

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left\{ \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right.\) ⇒ EAOD là hình bình hành

Mà AD⊥EO nên tứ giác EAOD là hình thoi.

Hình thoi EAOD có \(\widehat {AOD} = 90^\circ \)nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)

EF chung

FC = DE

Nên: ∆ECF = ∆FDE (c.g.c)

Suy ra: \(\widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)

Vậy tam giác EFI cân

Mà O là trung điểm của EF ⇒ OI ⊥ EF

c) Ta có:

ΔAED = ΔABO = ΔBCO = ΔCOD = ΔDOA = ΔBFC

S_ΔAED+ S_ΔABO + S_ΔBCO + S_ΔCOD + S_ΔDOA + S_ΔBFC = S_ABCDFE = 6

Suy ra: S_ΔABO = S_ΔBCO = S_ΔCOD = S_ΔDOA = 1

S_ABCD = S_ΔABO + S_ΔBCO + S_ΔCOD + S_ΔDOA = 4

AB = BC = CD = AD = 2

d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM cới AK, ta có:

IO ⊥ FE ⇒ IO ⊥ AB

⇒ OM ⊥ AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABK có:

MA = MB(cmt)

MN // BK (vì MO//CD)

Do đó NA = NK là trung điểm của AK⇒ IN là đường trung tuyến của ΔAIK.

Mà G là trọng tậm tam giác nên G ∈ IN ⇒ G ∈ IM với IM cố định (I,M cố định).

Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một vận động viên bơi về phía Bắc với vận tốc 1,7 m/s. Nước sông chảy với vận tốc 1 m/s về phía Đông. Tính độ lớn và hướng vận tốc tổng hợp của vận động viên?

Xem đáp án

Lời giải

Một vận động viên bơi về phía Bắc với vận tốc 1,7 m/s. Nước sông chảy với vận tốc 1 (ảnh 1)

Độ lớn vận tốc tổng hợp của vận động viên là:

\(\overrightarrow v \)_{tổng hợp} = \(\overrightarrow v \) + \(\overrightarrow v \)_nước

Suy ra: v_{tổng hợp} = \(\sqrt {{v^2} + {v_{nuoc}}^2} = \sqrt {1,{7^2} + {1^2}} = 1,97\left( {m/s} \right)\)

Hướng vận tốc tổng hợp của vận động viên hợp với bờ sông 1 góc là:

\(\tan \alpha = \frac{v}{{{v_{nuoc}}}} = \frac{{1,7}}{1} = 1,7 \Rightarrow \alpha \approx 59,53^\circ \)

Câu 2

Hàm số y = f(x² + 2x) nghịch biến trên khoảng nào?

x

–∞

–2

1

3                    +∞

f'(x)

–

0           +

0             –

0            –

Xem đáp án

Lời giải

y = f(x² + 2x)

y' = (2x + 2)f'(x² + 2x)

Xét y' = 0 ta có: (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}2x + 2 = 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x = - 2\\{x^2} + 2x = 1\\{x^2} + 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = - 3\\x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số y = f(x^2 + 2x) nghịch biến trên khoảng nào x - vô cùng -2 1 3 + vô cùng (ảnh 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên (–3; –1) và (1; +∞)

Câu 3