Cho hai hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}}\)và y =|x+2|−x + m (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1) và (C2) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là:

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:

\(\frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} = \left| {x + 2} \right| - x + m\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} - \left| {x + 2} \right| + x = m\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{x} + \frac{x}{{x + 1}} - \left| {x + 2} \right| + x\) có TXĐ: D = ℝ ∖ {‒1; 0; 1; 2}.

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} - \frac{{x + 2}}{{\left| {x + 2} \right|}} + 1\)

\( = \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \frac{{\left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\forall x \in D\)

Do \(\left| {x + 2} \right| \ge x + 2\forall x \Rightarrow \left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2} \right| - \left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge 0\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\forall x \in D \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = m có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≥ 2.