Câu hỏi:
26/09/2023 310
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\).
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)
\( = \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} \cdot \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1\)\( = \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2{\rm{x}}} \cdot \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}\left( {1 + \sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} - 1} \right).\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{\rm{x}}}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} + 1} \right)}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\frac{{3{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right\}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{3\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}} + 1} \right]}}} \right) = \frac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\frac{{4{\rm{x}}}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{4\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}}}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}}} \right) + 1} \right]}}} \right) = \frac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2{\rm{x}}} .\sqrt[3]{{1 + 3{\rm{x}}}}.\sqrt[4]{{1 + 4{\rm{x}}}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt là
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt là
Xem đáp án »
26/09/2023
9,499
Câu 2:
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x ∈ (–1; 1) khi và chỉ khi:
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x ∈ (–1; 1) khi và chỉ khi:
Xem đáp án »
26/09/2023
3,477
Câu 3:
Tìm m để phương trình x2 – 4x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 3).
Tìm m để phương trình x2 – 4x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 3).
Xem đáp án »
11/07/2024
3,379
Câu 4:
Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\) (*). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [–2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?
Cho phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}x - \sqrt {m + {{\log }_2}x} = m\) (*). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [–2019; 2019] để phương trình (*) có nghiệm?
Xem đáp án »
26/09/2023
2,762
Câu 5:
Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Trong tam giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau tại I. Tìm thiết diện của tứ diện với (HKM) trong hai trường hợp:
a) I nằm trong đoạn CD.
b) I nằm ngoài đoạn CD.
Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Trong tam giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau tại I. Tìm thiết diện của tứ diện với (HKM) trong hai trường hợp:
a) I nằm trong đoạn CD.
b) I nằm ngoài đoạn CD.
Xem đáp án »
11/07/2024
2,593
Câu 6:
Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) ∪ (c; d). Tính tổng a + b + c + d.
Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) ∪ (c; d). Tính tổng a + b + c + d.
Xem đáp án »
26/09/2023
1,816
Câu 7:
Trong một hộp bút có 2 bút đỏ, 3 bút đen và 2 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy một cái bút?
Trong một hộp bút có 2 bút đỏ, 3 bút đen và 2 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy một cái bút?
Xem đáp án »
26/09/2023
1,423
về câu hỏi!