Bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\) có tập nghiệm là (a; b) ∪ (c; d). Tính tổng a + b + c + d.

Đáp án đúng là: C

Ta có \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x - 1 > 0}\\{2{x^2} - x - 1 < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\2{x^2} - x - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right.}\\{\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} < x < - \frac{1}{2}}\\{1 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4};b = - \frac{1}{2}}\\{c = 1;d = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó \(a + b + c + d = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4} + \frac{{ - 1}}{2} + 1 + \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4} = \frac{{1 - \sqrt {17} - 2 + 4 + 1 + \sqrt {17} }}{4} = 1\)

Vậy ta chọn đáp án C.