Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0, α là một số thực.

a) Tính $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}$ và $a^{\alpha {\log }_{a}b}$

b) So sánh ${\log }_a{b}^{\alpha }$ và $\alpha {\log }_{a}b$

Cho log_ab = 2. Tính:

a) log_a(a²b³);

b) ${\log }_a\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}};$

c) ${\log }_a\left(2b\right)+{\log }_a\left(\frac{b^2}{2}\right).$

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺] với [H⁺] là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 10^–4, nước dừa là 10^–5 (nồng độ tính bằng mol L^–1).

Làm thế nào để tính được độ pH của cốc nước cam, nước dừa đó?

Một vi khuẩn có khối lượng khoảng 5 . 10^–13 gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và bài tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là 6 . 10²⁷ gam) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H⁺] trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được [H⁺] = 8 . 10^–8 (Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?

Tính:

a) $8^{{\log }_{2}5};$

b) ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{\log 81};$

c) $5^{{\log }_{25}16}.$

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn a³b² = 100. Tính giá trị của biểu thức P = 3log a + 2log b.

Cho ba số thực dương a, b, c với a ≠ 1, b ≠ 1.

a) Bằng cách sử dụng tính chất  chứng tỏ rằng log_ac = log_bc . log_ab;

b) So sánh log_bc và $\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}.$