Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 2. Phép tính lôgarit có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H⁺] = –log10^–4 = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là: pH = –log[H⁺] = –log10^–5 = –(–5) = 5.

a) Ta có:

⦁ 3^x = 9 ⇔ 3^x = 3² ⇔ x = 2;

⦁ $3^x=\frac{1}{9}\iff 3^x=3^{-2}\iff x=-2.$

b) Có đúng một số thực x sao cho 3^x = 5.

a) log₃81 = 4 vì 3⁴ = 81;

b) ${\log }_{10}\frac{1}{100}=-2$ vì ${10}^{-2}=\frac{1}{100}.$

Với a > 0, a ≠ 1 ta có:

a) log_a1 = 0 vì a⁰ = 1;      

b) log_aa = 1 vì a¹ = a;

c) log_a a^c = c vì a^c = a^c;    

d) Với b > 0, đặt log_ab = c, suy ra a^c = b

Ta có $a^{{\log }_{a}b}=a^c=b$

Vậy $a^{{\log }_{a}b}=b$ (với b > 0).

Ta có:

a) ${\log }_4\sqrt[5]{16}={\log }_4{16}^{\frac{1}{5}}={\log }_4{4}^{\frac{2}{5}}=\frac{2}{5};$

b) ${36}^{{\log }_{6}8}={\left(6^2\right)}^{{\log }_{6}8}={\left(6^{{\log }_{6}8}\right)}^2=8^2=64.$

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H⁺] = –log10^–4 = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là: pH = –log[H⁺] = –log10^–5 = –(–5) = 5.

a) Ta có:

⦁ log₂(mn) = log₂ (2⁷ . 2³) = log₂ 2¹⁰ = 10;

⦁ log₂m + log₂n = log₂ 2⁷ + log₂ 2³ = 7 + 3 = 10.

Suy ra log₂(mn) = log₂m + log₂n.

b) Ta có:

⦁ ${\log }_2\left(\frac{m}{n}\right)={\log }_2\left(\frac{2^7}{2^3}\right)={\log }_2{2}^4=4;$

⦁ log₂m – log₂n = log₂ 2⁷ – log₂ 2³ = 7 – 3 = 4.

Suy ra ${\log }_2\left(\frac{m}{n}\right)={\log }_{2}m-{\log }_{2}n.$

a) $\ln \left(\sqrt{5}+2\right)+\ln \left(\sqrt{5}-2\right)=\ln \left[\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)\right]=\ln \left(5-4\right)=\ln 1=0;$

b) $\log 400-\log 4=\log \frac{400}{4}=\log 100=\log {10}^2=2;$

c) ${\log }_{4}8+{\log }_{4}12+{\log }_4\frac{32}{3}={\log }_4\left(8\cdot 12\cdot \frac{32}{3}\right)={\log }_4\left(32\cdot 32\right)={\log }_4{4}^5=5.$

a) Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, ta có:

⦁ Đặt $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=c$ suy ra ${\log }_a{a}^{{\log }_a{b}^{\alpha }}={\log }_{a}c$ hay ${\log }_{a}c={\log }_a{b}^{\alpha },$ do đó $c=b^{\alpha }$

Vậy $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=b^{\alpha }.$

⦁ Đặt $a^{\alpha {\log }_{a}b}=c$  suy ra ${\log }_a{a}^{\alpha {\log }_{a}b}={\log }_{a}c$ hay ${\log }_{a}c=\alpha {\log }_{a}b$

Do đó ${\log }_{a}c={\log }_a{b}^{\alpha }$ nên $c=b^{\alpha }$

Vậy $a^{\alpha {\log }_{a}b}=b^{\alpha }.$

b) Vì $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=b^{\alpha };a^{\alpha {\log }_{a}b}=b^{\alpha }$

Nên $a^{{\log }_a{b}^{\alpha }}=a^{\alpha {\log }_{a}b}$

Suy ra ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b.$

Ta có: 

$$\begin{gathered} 2{\log }_{3}5-{\log }_{3}50+\frac{1}{2}{\log }_{3}36 \\ ={\log }_3{5}^2-{\log }_{3}50+{\log }_3{36}^{\frac{1}{2}} \\ ={\log }_{3}25-{\log }_{3}50+{\log }_{3}6 \\ ={\log }_3\left(\frac{{\displaystyle 25}}{{\displaystyle 50}}\cdot 6\right)={\log }_{3}3=1. \end{gathered}$$

a) Với a, b, c > 0 và a ≠ 1, b ≠ 1, ta có:

$c=b^{{\log }_{b}c}\iff {\log }_{a}c={\log }_a{b}^{{\log }_{b}c}\iff {\log }_{a}c={\log }_{b}c\cdot {\log }_{a}b$

Vậy log_ac = log_bc . log_ab.

b) Từ log_ac = log_bc . log_ab suy ra ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}.$

Ta có: $5^{{\log }_{125}64}=5^{{\log }_{5^3}64}=5^{\frac{1}{3}{\log }_{5}64}=5^{{\log }_5\sqrt[3]{64}}=5^{{\log }_{5}4}=4.$

a) log₁₂12³ = 3;

b) log_0,50,25 = log_0,50,5² = 2;

c) log_aa^–3 = –3 (với a > 0, a ≠ 1).

a) $8^{{\log }_{2}5}={\left(2^3\right)}^{{\log }_{2}5}=2^{3{\log }_{2}5}=2^{{\log }_2{5}^3}=5^3=125;$

b) ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{\log 81}={10}^{-\log 81}={10}^{\log {81}^{-1}}={81}^{-1}=\frac{1}{81};$

c) $5^{{\log }_{25}16}=5^{{\log }_{5^2}16}=5^{\frac{1}{2}{\log }_{5}16}=5^{{\log }_5{16}^{\frac{1}{2}}}={16}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4.$

a) log_a(a²b³) = log_aa² + log_ab³ = 2log_aa + 3log_ab = 2 . 1 + 3 . 2 = 8;

b) ${\log }_a\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}={\log }_a{\left(\sqrt{a}\right)}^3-{\log }_a{\left(\sqrt[3]{b}\right)}^4={\log }_a{a}^{\frac{3}{2}}-{\log }_a{b}^{\frac{4}{3}}$

$=\frac{3}{2}{\log }_{a}a-\frac{4}{3}{\log }_{a}b=\frac{3}{2}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 2=\frac{3}{2}-\frac{8}{3}=-\frac{7}{6};$

c) ${\log }_a\left(2b\right)+{\log }_a\left(\frac{b^2}{2}\right)={\log }_a\left(2b\cdot \frac{b^2}{2}\right)={\log }_a{b}^3=3{\log }_{a}b=3\cdot 2=6.$

Ta có: P = log a³ + log b² = log a³b² = log 100 = 10.

Vì pH = – log [H⁺] = – log 8 . 10^–8 ≈ 7,1

Suy ra độ pH không phù hợ cho tôm sú phát triển.

Số lượng tế bào đạt đến khối lượng Trái Đất là:

N = 6 . 10²⁷ . 10³ : 5 . 10^–13 = 1,2 . 10²⁷

Số lần phân chia: N = N₀ . 2ⁿ

Suy ra $n=\frac{\log N-\log N_0}{\log 2}=\frac{\log 1,{2.10}^{27}-\log {5.10}^{-13}}{\log 2}\approx 97,6$

Thời gian cần thiết là: 97,6 : 3 = 32,5 (giờ)

Vậy sau 32,5 giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất.