Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm AB. Tia Ox trùng với tia OB, tia Oy vuông góc với tia Ox tại O, hướng như hình vẽ.

Khi đó ta có: A(–200; 0); B(200; 0).

Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h (h > 0), suy ra đỉnh cầu có tọa độ (0; h).

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là: $y=\frac{-h}{{200}^2}{x}^2+h$ .

Theo cách làm ở Ví dụ 2, ta có: $y\text{'}=\frac{-2h}{{200}^2}x$ .

Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là:

k = $y\text{'}=\frac{-2h}{{200}^2}x$    với –200 ≤ x ≤ 200

Do đó, |k| =$\frac{-2h}{{200}^2}\left|x\right|$ ≤ $\frac{-2h}{{200}^2}.200=\frac{h}{100}$ .

Vì độ dốc của mặt cầu không quá  nên ta có: $\frac{h}{100}\le \tan 10°$ ⇔ h ≤ 17,6.

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.

+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t².

Với x₀ bất kì, ta có:$f\text{'}\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{19,6t-4,9t^2-19,6t_0+4,9{t_0}^2}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{-4,9\left(t^2-{t_0}^2\right)+19,6\left(t-t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t-t_0\right)\left(-4,9t-4,9t_0+19,6\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\left(-4,9t-4,9t_0+19,6\right)=-9,8t_0+19,6$.

Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t² có đạo hàm là hàm số h' = –9,8t₀ + 19,6.

+ Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t² = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=0\\ t=4\end{array}\right.$ .

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h'(4) = –9,8.4 + 19,6 = –19,6 (m/s).