Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)². Tính f'(0) và f'(1).

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t₀ bất kì là

v(t₀) = s'(t₀) = $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{t^3-4t^2+4t-\left(t_0^3-4t_0^2+4t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t^3-t_0^3\right)-4\left(t^2-t_0^2\right)+4\left(t-t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t-t_0\right)\left(t^2+t{t}_0+t_0^2\right)-4\left(t-t_0\right)\left(t+t_0\right)+4\left(t-t_0\right)}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\left(t-t_0\right)\left[t^2+t{t}_0+t_0^2-4\left(t+t_0\right)+4\right]}{t-t_0}$

$=\underset{t\to t_0}{\lim }\left[t^2+t{t}_0+t_0^2-4\left(t+t_0\right)+4\right]$$=3t_0^2-8t_0+4$

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×3² − 8×3 + 4 = 7 m/s.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×5² − 8×5 + 4 = 39 m/s.

Đặt y = f(x) = −3x². Với x₀ bất kì, ta có:

y'(x₀) = $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-3x^2+3x_0^2}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-3\left(x^2-x_0^2\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-3\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left[-3\left(x+x_0\right)\right]=-6x_0$

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến có dạng k = y'(x₀) = −6x₀ (x = x₀ là hoành độ tiếp điểm).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6. Do đó −6x₀ = 6 Û x₀ = −1.

Với x₀ = −1 thì y(−1) = −3.

Khi đó, ta có phương trình tiếp tuyến là: y + 3 = 6(x + 1) hay y = 6x + 3.

Vậy y = 6x + 3 là phương trình tiếp tuyến cần tìm.