Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d có hệ số góc là số âm và đi qua A(–2; 0) tạo với đường thẳng Δ: x + 3y – 3 = 0 một góc 45° là

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi ${\overrightarrow{n}}_d\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d (với a² + b² ≠ 0).

Đường thẳng d đi qua A(–2; 0) và có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d\left(a;b\right)$ nên có phương trình là: a(x + 2) + b(y – 0) = 0 tức là ax + by + 2a = 0.

Đường thẳng Δ: x + 3y – 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }\left(1;3\right).$

Theo giả thiết d tạo với Δ một góc 45° nên:

$\cos \left(d,\Delta \right)=\cos 45°\iff \frac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff 2\left|a+3b\right|=\sqrt{20}\cdot \sqrt{a^2+b^2}$

$\iff 5\left(a^2+b^2\right)={\left(a+3b\right)}^2\iff 2a^2-3ab-2b^2=0\iff \left[\begin{array}{l}a=2b\\ a=-\frac{1}{2}b\end{array}\right.$.

Với a = 2b, chọn b = 1 suy ra a = 2, ta được đường thẳng cần tìm là 2x + y + 4 = 0.

Với $a=-\frac{1}{2}b$, chọn b = –2 suy ra a = 1, ta được đường thẳng cần tìm là x – 2y + 2 = 0 (loại do hệ số góc dương).