Câu hỏi:

12/07/2024 1,089

Cho tam giác ABC, gọi BM và CN lần lượt là các đường trung tuyến sao cho BM vuông góc với CN. Chứng minh cotA = 2 (cotB + cotC).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC, gọi BM và CN lần lượt là các đường trung tuyến sao cho BM vuông góc với CN. Chứng minh cotA = 2 (cotB + cotC). (ảnh 1)

Theo định lý cosin: cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Và sinA = $\frac{a}{2 R}$

cotA = $\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} : \frac{a}{2 R} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{a b c} . R = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}$ (*)

Lại có theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

BM² = $\frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}$

CN² = $\frac{c^{2} + b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$

Suy ra: a² = BC² = BG² + GC² = $\frac{4}{9} B M^{2} + \frac{4}{9} C N^{2}$ = $\frac{4}{9} (\frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}) + \frac{4}{9} (\frac{c^{2} + b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4})$

⇔ a² = $\frac{4}{9} (\frac{b^{2} + c^{2}}{4} + a^{2})$

⇔ 9a² = b² + c² + 4a²

⇔ 5a² = b² + c² (**)

Thay (**) vào (*): cotA = $\frac{5 a^{2} - a^{2}}{4 S} = \frac{4 a^{2}}{4 S} = \frac{a^{2}}{S} (1)$

Mặt khác cotB + cotC = $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$

⇒ cotB + cotC = $\frac{2 a^{2}}{4 S} = \frac{a^{2}}{2 S}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: cotA = 2 (cotB+cotC) = $\frac{a^{2}}{S}$

Vậy cotA = 2 (cotB + cotC).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F

a) Tam giác DBF là tam giác gì?

b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D bất kì trên AB, lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F (ảnh 1)

a) Ta có: DF // AC nên: $\hat{D F B} = \hat{A C B} = \hat{B}$

Suy ra: tam giác DBF cân tại D

b) Từ câu a ta có: DB = DF

Mà DB = CE theo giả thiết nên DF = CE

Lại có: DF // AC nên DF // CE

Xét tứ giác DCEF có: DF // CE và DF = CE

Vậy DCEF là hình bình hành.

Câu 2

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

a. So sánh AH và EF.

b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. a. So sánh AH và EF. b. Tính độ dài HF biết AB = 6 cm, BC = 10 cm và BH = 3,6 cm. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AEHF có: $\hat{A} = \hat{E} = \hat{F} = 90 °$

Nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH = EF

b) Xét tam giác AHE và tam giác AHB có:

$\hat{A}$ chung

$\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$

⇒ ∆AEH ∽ ∆AHB (g.g)

⇒ $\frac{A E}{A H} = \frac{A H}{A B}$

⇒ AE = $\frac{A H^{2}}{A B} = \frac{A B^{2} - B H^{2}}{A B} = \frac{6^{2} - 3, 6^{2}}{6} = 3, 84 (c m)$ .

Câu 3