Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) $\overset{⏜}{A P} = \overset{⏜}{B N}$

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật.

c) P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung $\overset{⏜}{A P}$ và $\overset{⏜}{B M}$ bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau.

mà BM = BN (∆BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến)

⇒ $\overset{⏜}{B M} = \overset{⏜}{B N}$

⇒ $\overset{⏜}{A P} = \overset{⏜}{B N}$

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (giả thiết)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒ $\hat{O K M} = 90 °$

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông: $\hat{O K M} = 90 °$ (cmt),

$\hat{M E O} = 90 °$ ( MN vuông góc với OB tại E)

$\hat{E M K} = 90 °$ (vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M)

⇒ OKME là hình chữ nhật

c) Ta có: $\hat{O P I} = \hat{N O E}$ (vì 2 góc đồng vị, MP//AB)

mà $\hat{O P I} + \hat{P O I} = 90 °$ (∆POK vuông tại K)

⇒ $\hat{N O E} + \hat{P O I} = 90 °$

⇒ $\hat{N O E} + \hat{P O I} + \hat{I O E} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

⇒ P, O, N thẳng hàng

- Xét ∆PMN có KE đường trung bình (K là trung điểm PM, E là trung điểm MN)

⇒ KE//PN.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

* $\vec{A M} - \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{N A} = \vec{N M}$

N là trung điểm AC nên $\vec{A N} = \vec{N C}$

* $\vec{M N} - \vec{N C} = \vec{M N} - \vec{A N} = \vec{M N} + \vec{N A} = \vec{M A}$

Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình

Suy ra: MN // BC; $M N = \frac{1}{2} B C = B P = P C$

=> $\vec{M N} = \vec{P C}$

* $\vec{M N} - \vec{P N} = \vec{P C} - \vec{P N} = \vec{N C}$

* $\vec{B P} - \vec{C P} = \vec{B P} + \vec{P C} = \vec{B C}$

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Để A ∩ B = ∅ thì:

[\begin{array}{l} m + 1 \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \end{array}

Câu 3