Câu hỏi:

12/07/2024 5,337

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

Chứng minh:

a) Tứ giác BEDC là hình thang cân.

b) BE = ED = DC.

c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE. (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (vì tam giác ABC cân tại A)

⇒ $\hat{D B C} = \hat{E C B}$

Xét tam giác DBC và tam giác ECB có:

$\hat{D C B} = \hat{E B C}$ (vì $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ )

BC là cạnh chung

$\hat{D B C} = \hat{E C B}$

⇒ ∆DBC = ∆ECB (g.c.g)

⇒ BE = CD mà AB = AC

Nên ta có: $\frac{B E}{A B} = \frac{C D}{A C}$

⇒ ED // BC

b) Từ phần a trên đã có BE = CD

Có: $\hat{E D B} = \hat{D B C}$ (so le trong)

mà $\hat{E B D} = \hat{D B C}$ (BD là phân giác)

⇒ $\hat{E B D} = \hat{E D B}$

⇒ Tam giác BED cân tại E

⇒ BE = ED

⇒ BE = ED = CD.

c) AI cắt ED tại J', ta chứng minh J' ≡ J

Từ tính chất tam giác đồng dạng ta có:

$\frac{E J'}{B I} = \frac{A E}{A B} = \frac{E D}{B C} = \frac{E D}{2 B I}$

⇒ EJ' = $\frac{E D}{2}$ ⇒ J' là trung điểm ED ⇒ J' ≡ J

Vậy A, I, J thẳng hàng

*OI cắt ED tại J" ta chứng minh J" ≡ J

Xét tam giác ODE và tam giác OBC có:

$\hat{D O E} = \hat{B O C}$ (đối đỉnh)

$\hat{E D O} = \hat{O B C}$ (so le trong, DE // BC)

∆ODE ∽ ∆OBC (g.g)

⇒ $\frac{O D}{O B} = \frac{E D}{B C}$

Mặt khác: $\hat{J'' D O} = \hat{O B I}$ (so le trong), $\hat{J'' O D} = \hat{I O B}$ (đối đỉnh)

⇒ ∆J"DO ∽ ∆IBO (g.g)

⇒ $\frac{J " D}{I B} = \frac{O D}{O B} = \frac{E D}{B C} = \frac{E D}{2 B I}$

⇒ $J " D = \frac{E D}{2}$

⇒ J" là trung điểm ED ⇒ J" ≡ J

Tóm lại A, I, O, J thẳng hàng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu am - an, mn - nc , mn - pn, bp - cp (ảnh 1)

* $\vec{A M} - \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{N A} = \vec{N M}$

N là trung điểm AC nên $\vec{A N} = \vec{N C}$

* $\vec{M N} - \vec{N C} = \vec{M N} - \vec{A N} = \vec{M N} + \vec{N A} = \vec{M A}$

Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình

Suy ra: MN // BC; $M N = \frac{1}{2} B C = B P = P C$

=> $\vec{M N} = \vec{P C}$

* $\vec{M N} - \vec{P N} = \vec{P C} - \vec{P N} = \vec{N C}$

* $\vec{B P} - \vec{C P} = \vec{B P} + \vec{P C} = \vec{B C}$

Câu 2

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án

Lời giải

Để A ∩ B = ∅ thì:

[\begin{array}{l} m + 1 \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \end{array}

Câu 3