Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

Chứng minh:

a) Tứ giác BEDC là hình thang cân.

b) BE = ED = DC.

c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng.

 a) Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (vì tam giác ABC cân tại A)

⇒ $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

Xét tam giác DBC và tam giác ECB có:

$\widehat{DCB}=\widehat{EBC}$ (vì $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$)

BC là cạnh chung

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

⇒ ∆DBC = ∆ECB (g.c.g)

⇒ BE = CD mà AB = AC

Nên ta có: $\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC}$

⇒ ED // BC

b) Từ phần a trên đã có BE = CD

Có: $\widehat{EDB}=\widehat{DBC}$ (so le trong)

mà $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}$ (BD là phân giác)

⇒ $\widehat{EBD}=\widehat{EDB}$

⇒ Tam giác BED cân tại E

⇒ BE = ED

⇒ BE = ED = CD.

c) AI cắt ED tại J', ta chứng minh J' ≡ J

Từ tính chất tam giác đồng dạng ta có:

$\frac{EJ\text{'}}{BI}=\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC}=\frac{ED}{2BI}$

⇒ EJ' = $\frac{ED}{2}$ ⇒ J' là trung điểm ED ⇒ J' ≡ J

Vậy A, I, J thẳng hàng

*OI cắt ED tại J" ta chứng minh J" ≡ J

Xét tam giác ODE và tam giác OBC có:

$\widehat{DOE}=\widehat{BOC}$ (đối đỉnh)

$\widehat{EDO}=\widehat{OBC}$ (so le trong, DE // BC)

∆ODE ∽ ∆OBC (g.g)

⇒ $\frac{OD}{OB}=\frac{ED}{BC}$

Mặt khác: $\widehat{J\text{'}\text{'}DO}=\widehat{OBI}$ (so le trong), $\widehat{J\text{'}\text{'}OD}=\widehat{IOB}$ (đối đỉnh)

⇒ ∆J"DO ∽ ∆IBO (g.g)

⇒ $\frac{J"D}{IB}=\frac{OD}{OB}=\frac{ED}{BC}=\frac{ED}{2BI}$

⇒ $J"D=\frac{ED}{2}$

⇒ J" là trung điểm ED ⇒ J" ≡ J

Tóm lại A, I, O, J thẳng hàng.