Câu hỏi:

24/02/2024 2,369

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình

$(x + 2 y) . [\log_{2} (x^{2} + y^{2}) - \log_{2} (x + 2 y) - 2 y + x] < 6 x + y (12 - 5 y)$ ?

A. 61

Đáp án chính xác

B. 62

C. 64

D.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 11) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} > 0 \\ x + 2 y > 0 \end{cases}$ .

Ta có:

$(x + 2 y) . [\log_{2} (x^{2} + y^{2}) - \log_{2} (x + 2 y) - 2 y + x] < 6 x + y (12 - 5 y)$

$\Leftrightarrow (x + 2 y) . \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}) + (x + 2 y) . (x - 2 y) < 6 x + y (12 - 5 y)$

$\Leftrightarrow (x + 2 y) . \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}) + (x^{2} - 4 y^{2}) - 6 x - 12 y + 5 y^{2} < 0$

$\Leftrightarrow (x + 2 y) . \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}) + (x^{2} + y^{2}) - 6 (x + 2 y) < 0$

$\Leftrightarrow \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}) + (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}) - 6 < 0$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} > 0$ . Khi đó bất phương trình trở thành: $\log_{2} t + t - 6 < 0$ với mọi $t > 0$ .

Xét hàm $f (t) = \log_{2} t + t - 6,$ với $t > 0$ .

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0, \forall t > 0$ nên hàm $f (t)$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Mặt khác ta có: $f (4) = \log_{2} 4 + 4 - 6 = 0$ nên bất phương trình tương đương:

$f (t) < f (4) \Leftrightarrow t < 4 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} < 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y < 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} < 20$

Suy ra: ${(x - 2)}^{2} < 20 \Leftrightarrow 2 - \sqrt{20} < x < 2 + \sqrt{20}$ .

Mà x nguyên nên $x \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

Lần lượt thay x vào hệ điều kiện $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} > 0 \\ x + 2 y > 0 \\ {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} < 20 \end{cases}$ để tìm y và kết hợp lại ta thu được 61 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

Xem đáp án » 23/02/2024 7,741

Câu 2:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $18 π a^{2}$ và độ dài đường cao bằng a. Tính bán kính R của đường tròn đáy của hình trụ đã cho theo a.

A. R = 3a

B. R = 9a

C. R = 6a

D. R = 18a

Xem đáp án » 23/02/2024 6,286

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 1 \\ a x - 2 a + b \end{cases} \begin{matrix} khi x > 2 \\ khi x \leq 2 \end{matrix}$ . Biết $\int_{0}^{2} f (x^{2} + 1) x d x = 5$ . Tính giá trị của biểu thức $T = 2 a - b^{2} + 1$ .

A. 77

B. 79

C. 78

D.

Xem đáp án » 24/02/2024 4,307

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M (1;-2;3), N (3;0;-1) và I là trung điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\vec{O I} = 4 \vec{i} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k}$

B. $\vec{O I} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} + 2 \vec{k}$

C. $\vec{O I} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$

D. $\vec{O I} = 4 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}$

Xem đáp án » 23/02/2024 4,119

Câu 5:

Trong một chiếc hộp có 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Xác suất để lấy được 2 quả bóng màu khác nhau là

A. $\frac{5}{7}$

B. $\frac{4}{7}$

C. 1

D. $\frac{6}{7}$

Xem đáp án » 23/02/2024 4,039

Câu 6:

Cửa hàng A có đặt trước sảnh một cái nón lớn với chiều cao 1,35m và sơn cách điệu hoa văn trang trí một phần mặt ngoài của hình nón ứng với cung nhỏ AB như hình vẽ. Biết $A B = 1,45 m, \hat{A C B} = 150 °$ và giá tiền trang trí là 2.000.000 đồng mỗi mét vuông. Hỏi số tiền mà cửa hàng A cần dùng để trang trí là bao nhiêu?

A. $4.215.000$ đồng

B. 4.510.000 đồng

C. 3.021.000 đồng

D. 3.008.000 đồng

Xem đáp án » 24/02/2024 3,292

Câu 7:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V = 3. Thể tích khối chóp A’.AB’C’ là

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. 3

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án » 23/02/2024 3,189

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình

$(x + 2 y) . [\log_{2} (x^{2} + y^{2}) - \log_{2} (x + 2 y) - 2 y + x] < 6 x + y (12 - 5 y)$ ?

Nhà sách VIETJACK:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $18 π a^{2}$ và độ dài đường cao bằng a. Tính bán kính R của đường tròn đáy của hình trụ đã cho theo a.

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 1 \\ a x - 2 a + b \end{cases} \begin{matrix} khi x > 2 \\ khi x \leq 2 \end{matrix}$ . Biết $\int_{0}^{2} f (x^{2} + 1) x d x = 5$ . Tính giá trị của biểu thức $T = 2 a - b^{2} + 1$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M (1;-2;3), N (3;0;-1) và I là trung điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong một chiếc hộp có 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Xác suất để lấy được 2 quả bóng màu khác nhau là

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V = 3. Thể tích khối chóp A’.AB’C’ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình x+2y.log2x2+y2−log2x+2y−2y+x<6x+y12−5y?

Nhà sách VIETJACK:

Cho cấp số nhân un với số hạng đầu u1=1 và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 18πa2 và độ dài đường cao bằng a. Tính bán kính R của đường tròn đáy của hình trụ đã cho theo a.

Cho hàm số fx=3x+1ax−2a+b khi x>2khi x≤2. Biết ∫02fx2+1xdx=5. Tính giá trị của biểu thức T=2a−b2+1.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M (1;-2;3), N (3;0;-1) và I là trung điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong một chiếc hộp có 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Xác suất để lấy được 2 quả bóng màu khác nhau là

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V = 3. Thể tích khối chóp A’.AB’C’ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình

$(x + 2 y) . [\log_{2} (x^{2} + y^{2}) - \log_{2} (x + 2 y) - 2 y + x] < 6 x + y (12 - 5 y)$ ?

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $18 π a^{2}$ và độ dài đường cao bằng a. Tính bán kính R của đường tròn đáy của hình trụ đã cho theo a.

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 1 \\ a x - 2 a + b \end{cases} \begin{matrix} khi x > 2 \\ khi x \leq 2 \end{matrix}$ . Biết $\int_{0}^{2} f (x^{2} + 1) x d x = 5$ . Tính giá trị của biểu thức $T = 2 a - b^{2} + 1$ .