Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình

$\left(x+2y\right).\left[{\log }_2\left(x^2+y^2\right)-{\log }_2\left(x+2y\right)-2y+x\right]<6x+y\left(12-5y\right)$?

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2>0\\ x+2y>0\end{array}\right.$.

Ta có:

$\left(x+2y\right).\left[{\log }_2\left(x^2+y^2\right)-{\log }_2\left(x+2y\right)-2y+x\right]<6x+y\left(12-5y\right)$

$\iff \left(x+2y\right).{\log }_2\left(\frac{x^2+y^2}{x+2y}\right)+\left(x+2y\right).\left(x-2y\right)<6x+y\left(12-5y\right)$

$\iff \left(x+2y\right).{\log }_2\left(\frac{x^2+y^2}{x+2y}\right)+\left(x^2-4y^2\right)-6x-12y+5y^2<0$

$\iff \left(x+2y\right).{\log }_2\left(\frac{x^2+y^2}{x+2y}\right)+\left(x^2+y^2\right)-6\left(x+2y\right)<0$

$\iff {\log }_2\left(\frac{x^2+y^2}{x+2y}\right)+\left(\frac{x^2+y^2}{x+2y}\right)-6<0$

Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{x+2y}>0$. Khi đó bất phương trình trở thành: ${\log }_{2}t+t-6<0$ với mọi $t>0$.

Xét hàm $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t-\mathrm{6,}$với $t>0$.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>\mathrm{0,}\forall t>0$ nên hàm $f\left(t\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Mặt khác ta có: $f\left(4\right)={\log }_{2}4+4-6=0$ nên bất phương trình tương đương:

$f\left(t\right)<f\left(4\right)\iff t<4\iff \frac{x^2+y^2}{x+2y}<4\iff x^2+y^2-4x-8y<0\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2<20$

Suy ra: ${\left(x-2\right)}^2<20\iff 2-\sqrt{20}<x<2+\sqrt{20}$.

Mà x nguyên nên $x\in \left\{-2;-1;0;1;2;3;4;5;6\right\}$.

Lần lượt thay x vào hệ điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2>0\\ x+2y>0\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2<20\end{array}\right.$ để tìm y và kết hợp lại ta thu được 61 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.