Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.

c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm².

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

AH ⊥ BC

∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

∆AEH vuông tại E

Do đó $\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90°$

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90°$ (chứng minh trên)

$\widehat{BAH}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

⇒ $\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên $\widehat{AHC}=90°$

Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên $\widehat{AFH}=90°$

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\widehat{AFH}=\widehat{AHC}=90°$

$\widehat{HAF}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

⇒ $\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AF.AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC

c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên: $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

Xét ∆AEF và ∆ACB có 

$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

$\widehat{A}$ chung

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{BC}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE+AF+EF}{AC+AB+BC}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

$\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}={\left(\frac{AE}{AC}\right)}^2=\frac{4}{9}\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{4}=\frac{S_{ABC}}{9}=\frac{S_{ABC}-S_{AEF}}{9-4}=\frac{25}{5}=5$ (Do S_ABC – S_AEF = 25 cm²)

Vậy S_AEF = 5.4 = 20 (cm²)

S_ABC = 20 + 25 = 45 (cm²).