Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC). a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH2 = AE.AB. b) Chứng minh AE. AB = AF.AC. c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20...

a) Vì AH là đường cao (giả thiết) AH ⊥ BC ∆AHB vuông tại H Lại có HE ⊥ AB (giả thiết) ∆AEH vuông tại E Do đó AEH^=AHB^=90° Xét ∆AEH và ∆AHB có: AEH^=AHB^=90° (chứng minh trên) BAH^ chung Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g) ⇒ AHAB=AEAH (tỉ số đồng dạng) Suy ra: AH2 = AE.AB. (1) b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên AHC^=90° Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên AFH^=90° Xét ∆AFH và ∆AHC có AFH^=AHC^=90° HAF^ chung Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g) ⇒ AFAH=AHAC (tỉ số đồng dạng) Suy ra: AH2 = AF.AC. (2) Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên: AEAC=AFAB Xét ∆AEF và ∆ACB có AEAC=AFAB A^ chung Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c) ⇒ AEAC=AFAB=EFBC Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: AEAC=AFAB=EFBC=AE+AF+EFAC+AB+BC=2030=23 (vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm) SAEFSABC=AEAC2=49⇒SAEF4=SABC9=SABC−SAEF9−4=255=5 (Do SABC – SAEF = 25 cm2) Vậy SAEF = 5.4 = 20 (cm2) SABC = 20 + 25 = 45 (cm2).

Câu hỏi:

12/07/2024 4,354

Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.

c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC). a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH2 = AE.AB. (ảnh 1)

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

AH ⊥ BC

∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

∆AEH vuông tại E

Do đó $\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\hat{A E H} = \hat{A H B} = 90 °$ (chứng minh trên)

$\hat{B A H}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

⇒ $\frac{A H}{A B} = \frac{A E}{A H}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên $\hat{A H C} = 90 °$

Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên $\hat{A F H} = 90 °$

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\hat{A F H} = \hat{A H C} = 90 °$

$\hat{H A F}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

⇒ $\frac{A F}{A H} = \frac{A H}{A C}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AF.AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC

c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên: $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$

Xét ∆AEF và ∆ACB có

$\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$

$\hat{A}$ chung

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{B C}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{A E + A F + E F}{A C + A B + B C} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

$\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = {(\frac{A E}{A C})}^{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{S_{A E F}}{4} = \frac{S_{A B C}}{9} = \frac{S_{A B C} - S_{A E F}}{9 - 4} = \frac{25}{5} = 5$ (Do S_ABC – S_AEF= 25 cm²)