Cho a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = 25; c2 + d2 = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Đặt a=5cosαb=5sinα;c=4cosβd=4sinβ0≤α,β≤2π Từ ac + bd ≥ 20 ta có: 20cosα.cosβ + 20sinα.sinβ ≥ 20 ⇔ 20cos(α – β) ≥ 20 Vậy cos(α – β) = 1 ⇔ α – β = k2π (k ∈ ℤ) ⇔ α = β + k2π Suy ra: cosα=cosβsinα=sinβ Ta có: a + d = 5cosα + 4sinβ = 5cosα + 4sinα ≤ 52+42.cos2α+sin2α=41 Dấu “=” khi: cosα5=sinα45cosα+4sinα=41 Vậy max a + d = 41 khi a=5cosα=2541;d=4sinβ=1641

Câu hỏi:

19/08/2025 912

Cho a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = 25; c² + d² = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\{\begin{cases} a = 5 \cos α \\ b = 5 \sin α \end{cases}; \{\begin{cases} c = 4 \cos β \\ d = 4 \sin β \end{cases} (0 \leq α, β \leq 2 π)$

Từ ac + bd ≥ 20 ta có: 20cosα.cosβ + 20sinα.sinβ ≥ 20

⇔ 20cos(α – β) ≥ 20

Vậy cos(α – β) = 1 ⇔ α – β = k2π (k ∈ ℤ) ⇔ α = β + k2π

Suy ra: $\{\begin{cases} \cos α = \cos β \\ \sin α = \sin β \end{cases}$

Ta có: a + d = 5cosα + 4sinβ = 5cosα + 4sinα ≤ $\sqrt{5^{2} + 4^{2}} . \sqrt{\cos^{2} α + \sin^{2} α} = \sqrt{41}$

Dấu “=” khi: $\{\begin{cases} \frac{\cos α}{5} = \frac{\sin α}{4} \\ 5 \cos α + 4 \sin α = \sqrt{41} \end{cases}$

Vậy max a + d = $\sqrt{41}$ khi $a = 5 \cos α = \frac{25}{\sqrt{41}}; d = 4 \sin β = \frac{16}{\sqrt{41}}$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án

Lời giải

Để A ∩ B = ∅ thì:

[\begin{array}{l} m + 1 \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \end{array}

Câu 2

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu am - an, mn - nc , mn - pn, bp - cp (ảnh 1)

* $\vec{A M} - \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{N A} = \vec{N M}$

N là trung điểm AC nên $\vec{A N} = \vec{N C}$

* $\vec{M N} - \vec{N C} = \vec{M N} - \vec{A N} = \vec{M N} + \vec{N A} = \vec{M A}$

Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình

Suy ra: MN // BC; $M N = \frac{1}{2} B C = B P = P C$

=> $\vec{M N} = \vec{P C}$

* $\vec{M N} - \vec{P N} = \vec{P C} - \vec{P N} = \vec{N C}$

* $\vec{B P} - \vec{C P} = \vec{B P} + \vec{P C} = \vec{B C}$

Câu 3