Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của P=a2+b2+1a2+1b2

P=a2+116a2+b2+116b2+15161a2+1b2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a2+116a2≥12;b2+116b2≥12;1a2+1b2≥2ab=42ab Mặt khác: 1a2+1b2≥4a2+b2 Suy ra: 21a2+1b2≥41a2+b2+12ab≥4.4a2+b2+2ab=16a+b2=16 Suy ra: 1a2+1b2≥8 Vậy P≥12+12+1516.8=172 Dấu “=” xảy ra khi: a=ba+b=1⇔a=b=12

Câu hỏi:

19/08/2025 5,127

Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của $P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$P = (a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}}) + (b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}}) + \frac{15}{16} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: $a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}} \geq \frac{1}{2}; b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}} \geq \frac{1}{2}; \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} = \frac{4}{2 a b}$

Mặt khác: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2}}$

Suy ra: $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq 4 (\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}) \geq 4. \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} = \frac{16}{{(a + b)}^{2}} = 16$

Suy ra: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 8$

Vậy $P \geq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{15}{16} .8 = \frac{17}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi:

\{\begin{cases} a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án

Lời giải

Để A ∩ B = ∅ thì:

[\begin{array}{l} m + 1 \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \end{array}

Câu 2

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu am - an, mn - nc , mn - pn, bp - cp (ảnh 1)

* $\vec{A M} - \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{N A} = \vec{N M}$

N là trung điểm AC nên $\vec{A N} = \vec{N C}$

* $\vec{M N} - \vec{N C} = \vec{M N} - \vec{A N} = \vec{M N} + \vec{N A} = \vec{M A}$

Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình

Suy ra: MN // BC; $M N = \frac{1}{2} B C = B P = P C$

=> $\vec{M N} = \vec{P C}$

* $\vec{M N} - \vec{P N} = \vec{P C} - \vec{P N} = \vec{N C}$

* $\vec{B P} - \vec{C P} = \vec{B P} + \vec{P C} = \vec{B C}$

Câu 3