Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của P=a2+b2+1a2+1b2

P=a2+116a2+b2+116b2+15161a2+1b2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a2+116a2≥12;b2+116b2≥12;1a2+1b2≥2ab=42ab Mặt khác: 1a2+1b2≥4a2+b2 Suy ra: 21a2+1b2≥41a2+b2+12ab≥4.4a2+b2+2ab=16a+b2=16 Suy ra: 1a2+1b2≥8 Vậy P≥12+12+1516.8=172 Dấu “=” xảy ra khi: a=ba+b=1⇔a=b=12

Câu hỏi:

12/07/2024 3,144

Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của $P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$P = (a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}}) + (b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}}) + \frac{15}{16} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: $a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}} \geq \frac{1}{2}; b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}} \geq \frac{1}{2}; \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} = \frac{4}{2 a b}$

Mặt khác: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2}}$

Suy ra: $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq 4 (\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}) \geq 4. \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} = \frac{16}{{(a + b)}^{2}} = 16$

Suy ra: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 8$

Vậy $P \geq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{15}{16} .8 = \frac{17}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi:

\{\begin{cases} a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án » 18/02/2024 17,790

Câu 2:

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án » 12/07/2024 14,997

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m

có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,762

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC).

Xem đáp án » 11/07/2024 8,365

Câu 5:

Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 7,726

Câu 6:

Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Xem đáp án » 12/07/2024 6,100

Câu 7:

Giải phương trình sin3x – cos2x = 0.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,477

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP