Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w=z+3i−1z+3+i là số thuần ảo. Xét các số phức z1, z2∈S thỏa mãn z1−z2=2 , giá trị lớn nhất của P=z1−3i2−z2−3i2 bằng A. 10 B. 20 C. 226 D. 426

Đáp án đúng là: C Ta có: z=x+yi x,y∈ℝ . w=z+3i−1z+3+i=(x−1)+(y+3)i(x+3)+(y+1)i=(x−1)+(y+3)i(x+3)−(y+1)i(x+3)+(y+1)i(x+3)−(y+1)i ⇒w=x−1x+3+y+3y+1+x+3y+3−x−1y+1ix+32+y+12 w là số thuần ảo ⇔ (x−1)(x+3)+(y+3)(y+1)=0⇔ x2+y2+2x+4y=0 . Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z1, z2 ta có M,N∈C: x2+y2+2x+4y=0 (C) có tâm I(-1;-2), bán kính R=5 . Các số phức z1, z2∈S thỏa mãn z1−z2=2⇔xN−xM2+yN−yM2=2⇔MN=2 Gọi A(0;3) nên ta có IA=0+12+3+22=26 . Xét P=z1−3i2−z2−3i2=AM2−AN2 =AM→2−AN→2=AI→+IM→2−AI→+IN→2 =IA2+IM2+2AI→.IM→−IA2−IN2−2AI→.IN→=2AI→IM→−IN→ =2AI→.NM→=2.IA.MN.cosAI→,NM→≤2.IA.MN=2.26.2=226 (Do M,N∈C⇒IM=IN ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ AI→ ,NM→ cùng hướng. Vậy giá trị lớn nhất của P=z1−3i2−z2−3i2 bằng 226 .

Câu hỏi:

26/02/2024 1,497

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w = \frac{z + 3 i - 1}{z + 3 + i}$ là số thuần ảo. Xét các số phức $z_{1}, z_{2} \in S$ thỏa mãn $|z_{1} - z_{2}| = 2$ , giá trị lớn nhất của $P = {|z_{1} - 3 i|}^{2} - {|z_{2} - 3 i|}^{2}$ bằng

A. 10

B. 20

C. $2 \sqrt{26}$

Đáp án chính xác

D. $4 \sqrt{26}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 14) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Ta có: $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

$w = \frac{z + 3 i - 1}{z + 3 + i} = \frac{(x - 1) + (y + 3) i}{(x + 3) + (y + 1) i} = \frac{[(x - 1) + (y + 3) i] [(x + 3) - (y + 1) i]}{[(x + 3) + (y + 1) i] [(x + 3) - (y + 1) i]}$

$\Rightarrow w = \frac{(x - 1) (x + 3) + (y + 3) (y + 1) + [(x + 3) (y + 3) - (x - 1) (y + 1)] i}{{(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}$

w là số thuần ảo $\Leftrightarrow (x - 1) (x + 3) + (y + 3) (y + 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 0$ .

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của $z_{1}, z_{2}$ ta có

$M, N \in (C) : x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 0$

(C) có tâm I(-1;-2), bán kính $R = \sqrt{5}$ .

Các số phức $z_{1}, z_{2} \in S$ thỏa mãn

$|z_{1} - z_{2}| = 2 \Leftrightarrow \sqrt{{(x_{N} - x_{M})}^{2} + {(y_{N} - y_{M})}^{2}} = 2 \Leftrightarrow M N = 2$

Gọi A(0;3) nên ta có $I A = \sqrt{{(0 + 1)}^{2} + {(3 + 2)}^{2}} = \sqrt{26}$ .

Xét $P = {|z_{1} - 3 i|}^{2} - {|z_{2} - 3 i|}^{2} = A M^{2} - A N^{2}$

$= {(\vec{A M})}^{2} - {(\vec{A N})}^{2} = {(\vec{A I} + \vec{I M})}^{2} - {(\vec{A I} + \vec{I N})}^{2}$

$= I A^{2} + I M^{2} + 2 \vec{A I} . \vec{I M} - I A^{2} - I N^{2} - 2 \vec{A I} . \vec{I N} = 2 \vec{A I} (\vec{I M} - \vec{I N})$

$= 2 \vec{A I} . \vec{N M} = 2. I A . M N . \cos (\vec{A I}, \vec{N M}) \leq 2. I A . M N = 2. \sqrt{26} .2 = 2 \sqrt{26}$

(Do $M, N \in (C) \Rightarrow I M = I N$ ).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A I}, \vec{N M}$ cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của $P = {|z_{1} - 3 i|}^{2} - {|z_{2} - 3 i|}^{2}$ bằng $2 \sqrt{26}$ .

Bình luận

Câu 1:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Cho ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{6}$

Xem đáp án » 26/02/2024 20,351

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- 1; 1)$

B. $(- \infty; - 1)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án » 24/02/2024 16,360

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (2 x + 1) {(x + 2)}^{2} {(3 x - 1)}^{4}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án » 24/02/2024 14,628

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z - 13 = 0$ . Lấy điểm M(a;b;c) với a<0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, Clà tiếp điểm) thỏa mãn $\hat{A M B} = 60 °; \hat{B M C} = 90 °; \hat{C M A} = 120 °$ . Tổng a+b+c bằng

A. $\frac{10}{3}$

B. 1

C. -2

D. 2

Xem đáp án » 26/02/2024 11,603

Câu 5:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^{3} - 6 x$ và $y = x^{2}$ bằng

A. $\frac{125}{12}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{63}{4}$

D. $\frac{253}{12}$

Xem đáp án » 26/02/2024 9,690

Câu 6:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

A. $\frac{a \sqrt{21}}{7} .$

B. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7} .$

C. $\frac{a \sqrt{42}}{7} .$

D. $\frac{a \sqrt{42}}{14} .$

Xem đáp án » 26/02/2024 9,519

Câu 7:

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực m để hàm số $y = |e^{3 x} - 3 (m + 2) e^{2 x} + 3 m (m + 4) e^{x}|$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; \ln 2)$ ?

A. 4047

B. 2023

C. 2022

D. 4045

Xem đáp án » 26/02/2024 9,050

Xem thêm các câu hỏi khác »

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w = \frac{z + 3 i - 1}{z + 3 + i}$ là số thuần ảo. Xét các số phức $z_{1}, z_{2} \in S$ thỏa mãn $|z_{1} - z_{2}| = 2$ , giá trị lớn nhất của $P = {|z_{1} - 3 i|}^{2} - {|z_{2} - 3 i|}^{2}$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Cho ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5.

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (2 x + 1) {(x + 2)}^{2} {(3 x - 1)}^{4}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^{3} - 6 x$ và $y = x^{2}$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực m để hàm số $y = |e^{3 x} - 3 (m + 2) e^{2 x} + 3 m (m + 4) e^{x}|$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; \ln 2)$ ?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w=z+3i−1z+3+i là số thuần ảo. Xét các số phức z1, z2∈S thỏa mãn z1−z2=2 , giá trị lớn nhất của P=z1−3i2−z2−3i2 bằng

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Cho ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5.

Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'x=2x+1x+223x−14,∀x∈ℝ . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y=x3−6x và y=x2 bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực m để hàm số y=e3x−3m+2e2x+3mm+4ex đồng biến trên khoảng −∞;ln2 ?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w = \frac{z + 3 i - 1}{z + 3 + i}$ là số thuần ảo. Xét các số phức $z_{1}, z_{2} \in S$ thỏa mãn $|z_{1} - z_{2}| = 2$ , giá trị lớn nhất của $P = {|z_{1} - 3 i|}^{2} - {|z_{2} - 3 i|}^{2}$ bằng

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (2 x + 1) {(x + 2)}^{2} {(3 x - 1)}^{4}, \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = x^{3} - 6 x$ và $y = x^{2}$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực m để hàm số $y = |e^{3 x} - 3 (m + 2) e^{2 x} + 3 m (m + 4) e^{x}|$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; \ln 2)$ ?