Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực m để hàm số $y=\left|e^{3x}-3\left(m+2\right)e^{2x}+3m\left(m+4\right)e^x\right|$  đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;\ln 2\right)$ ?

Đáp án đúng là: D

Đặt $t=e^x\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}0<t<2\\ t^{\text{'}}=e^x>0\end{array}\right.$ .

Khi đó, bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[-2023;2023\right]$  của tham số thực m  để hàm số $y=\left|t^3-3\left(m+2\right)t^2+3m\left(m+4\right)t\right|$  đồng biến trên khoảng (0;2).

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-3\left(m+2\right)t^2+3m\left(m+4\right)t$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-6\left(m+2\right)t+3m\left(m+4\right)$

$=3\left[t^2-\left(2m+4\right)t+m\left(m+4\right)\right]=3\left(t-m\right)\left[t-\left(m+4\right)\right]$            .

Trường hợp 1: Hàm số $f\left(t\right)=t^3-3\left(m+2\right)t^2+3m\left(m+4\right)t$  đồng biến và không nhận giá trị âm trên (0;2)

$\iff \left\{\begin{array}{c}f\left(t\right)\ge 0\\ f^{\text{'}}\left(t\right)\ge 0\end{array}\right.,\forall t\in \left(0;2\right)$$\iff \left\{\begin{array}{c}f\left(0\right)\ge 0\\ 3\left(t-m\right)\left[t-\left(m+4\right)\right]\ge \mathrm{0,}\forall t\in \left(0;2\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}0-\left(m+4\right)\ge 0\\ 2-m\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\le -4\\ m\ge 2\end{array}\right.$ .

Mà $m\in \left[-2023;2023\right],m\in \mathbb{Z}$  nên có 4042 giá trị m .

Trường hợp 2: Hàm số $f\left(t\right)=t^3-3\left(m+2\right)t^2+3m\left(m+4\right)t$  nghịch biến và không nhận giá trị dương trên (0;2) $\iff \left\{\begin{array}{c}f\left(t\right)\le 0\\ f^{\text{'}}\left(t\right)\le 0\end{array}\right.,\forall t\in \left(0;2\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}f\left(0\right)\le 0\\ 3\left(t-m\right)\left[t-\left(m+4\right)\right]\le \mathrm{0,}\forall t\in \left(0;2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}0\le 0\\ \left\{\begin{array}{c}0-m\ge 0\\ 2-\left(m+4\right)\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff -2\le m\le 0$

.

Mà $m\in \left[-2023;2023\right],m\in \mathbb{Z}$  nên có 3 giá trị m .

Vậy có tất cả 4045 giá trị m  thỏa mãn.