Câu hỏi:

13/07/2024 8,375

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D∈ BC).

a) Chứng minh BA = BD.

b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ΔABC = ΔDBE

c) Kẻ DH⊥ MC (H∈ MC) và AK⊥ ME (K ∈ ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc $\hat{H M K}$ .

d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D∈ BC) (ảnh 1)

a) Xét 2 tam giác vuông ΔABM và ΔDBM có:

BM chung

$\hat{A B M} = \hat{D B M}$ (do BM là phân giác)

⇒ΔABM = ΔDBM (cạnh huyền- góc nhọn)

⇒ BA = BD (hai cạnh tương ứng)

b) Xét 2 tam giác vuông ΔABC và ΔDBE có:

BA = BD (chứng minh ở câu a)

$\hat{B}$ chung

⇒ ΔABC = ΔDBE (cạnh góc vuông- góc nhọn)

c) Xét 2 tam giác vuông ΔAMK và ΔDMH có:

AM = DM (hai cạnh tương ứng do ΔABM = ΔDBM)

$\hat{A M K} = \hat{D M H}$ (đối đỉnh)

⇒ ΔAMK = ΔDMH (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ MK = MH (hai cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông ΔMNK và ΔMNH có:

MK = MH (cmt)

$\hat{M K N} = \hat{M H N} = 90 °$

MN chung

⇒ ΔMNK = ΔMNH (c.g.c)

⇒ $\hat{M N K} = \hat{M N H}$ (hai góc tương ứng)

⇒ NM là tia phân giác của $\hat{H M K}$ (đpcm) (1)

d) Do AK = DH (hai cạnh tương ứng ΔAMK = ΔDMH)

KN = HN (hai cạnh tương ứng ΔMNK = ΔMNH)

⇒ AN = AK + KN = DH + HN = DN

Xét ΔABN và ΔDBN có:

AB = DB (cmt)

BN chung

AN = DN

⇒ΔABN = ΔDBN (c.c.c)

⇒ $\hat{A N B} = \hat{D N B}$ (hai góc tương ứng)

⇒ NB là tia phân giác $\hat{A N D}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra B, M, N thẳng hàng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED và CEF có:

EA = EC

$\hat{A E D} = \hat{C E F}$ (đối đỉnh)

ED = EF

⇒ ∆AED = ∆CEF (c.g.c)

⇒ DA = CF

Mà DA = DB nên DB = CF

b) ∆AED = ∆CEF nên: $\hat{A} = \hat{E C F}$

Suy ra: AB // CF

⇒ $\hat{B D C} = \hat{D C F}$ (so le trong)

Xét tam giác BDC và FCD có:

DC chung

$\hat{B D C} = \hat{D C F}$

BD = CF

⇒ ∆BDC = ∆FCD (c.g.c)

c) ∆BDC = ∆FCD nên $\hat{D C B} = \hat{C D F}$

Suy ra: DE // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

Lại có BC = DF = 2DE

Nên: $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Câu 2

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. (ảnh 1)

a) Trong mp(ACD) gọi I là giao điểm của NM và CD.

Khi đó OI = (OMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) gọi H, K là giao điểm OI với BC và BD

K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Vậy H = BC ∩ (OMN)

c) K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Nên K = BD ∩ (OMN).

Câu 3