Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của HAB^. a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm. b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC. c) Gọi E, F lần lư...

Câu hỏi:

13/07/2024 2,755

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của $\hat{H A B}$ .

a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.

b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.

c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Chứng minh S_AEF= S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của (ảnh 1)

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC

Nên: AH² = BH.CH = 18.8 = 144

⇒ AH = 12cm.

AC = $\sqrt{A H^{2} + H C^{2}} = 4 \sqrt{13}$

b) Vì AD là phân giác $\hat{B A H}$ ⇒ $\hat{B A D} = \hat{D A H}$

$\hat{H A C} = 90 ° - \hat{H A B} = \hat{A B H} = \hat{A B D}$

⇒ $\hat{C D A} = \hat{D A B} + \hat{D B A} = \hat{D A H} + \hat{C A H} = \hat{C A D}$

Suy ra: tam giác CAD cân tại C ⇒ CA = CD

Vì AD là phân giác $\hat{B A H}$ ⇒ $\frac{D H}{D B} = \frac{A H}{A B} = \sin B = \frac{A C}{B C}$

⇒ HD.BC = BD.AC = DB.CD

c) Ta có: HE ⊥ AB, HF ⊥ AC, AB ⊥ AC

Nên AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = EF

⇒ $\hat{A E F} = \hat{E A H} = \hat{B A H} = 90 ° - \hat{B} = \hat{A C B}$

Mà $\hat{E A F} = \hat{B A C}$

⇒ ∆AFE ∽ ∆ABC (g.g)

⇒ $\frac{S_{A F E}}{S_{A B C}} = {(\frac{E F}{B C})}^{2} = \frac{A H^{2}}{B C^{2}}$
Ta có: 1 – cos²B = sin²B

⇒ (1 – cos²B)sin²C = sin²Bsin²C = (sinBsinC)²

= ${(\frac{A C}{B C} . \frac{A B}{B C})}^{2} = {(\frac{A B . A C}{B C^{2}})}^{2} = {(\frac{A H . B C}{B C^{2}})}^{2} = {(\frac{A H}{B C})}^{2}$

⇒ $\frac{S_{A F E}}{S_{A B C}} = (1 - c o s^{2} B) s i n^{2} C$

⇒ S_AEF= S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED và CEF có:

EA = EC

$\hat{A E D} = \hat{C E F}$ (đối đỉnh)

ED = EF

⇒ ∆AED = ∆CEF (c.g.c)

⇒ DA = CF

Mà DA = DB nên DB = CF

b) ∆AED = ∆CEF nên: $\hat{A} = \hat{E C F}$

Suy ra: AB // CF

⇒ $\hat{B D C} = \hat{D C F}$ (so le trong)

Xét tam giác BDC và FCD có:

DC chung

$\hat{B D C} = \hat{D C F}$

BD = CF

⇒ ∆BDC = ∆FCD (c.g.c)

c) ∆BDC = ∆FCD nên $\hat{D C B} = \hat{C D F}$

Suy ra: DE // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

Lại có BC = DF = 2DE

Nên: $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Câu 2

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. (ảnh 1)

a) Trong mp(ACD) gọi I là giao điểm của NM và CD.

Khi đó OI = (OMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) gọi H, K là giao điểm OI với BC và BD

K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Vậy H = BC ∩ (OMN)

c) K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Nên K = BD ∩ (OMN).

Câu 3