Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3x2+4y2+x+log2x2+4y2+x2−8x+4y2x≤log3x+log2x2+4y2+24x? A. 24 B. 25 C. 22 D. 48

Đáp án đúng là: A Đặt t=x2+4y2x (t>0 do x > 0 ). Từ giả thiết ⇒log3tx+x+log2tx+t−8≤log3x+log2tx+24x ⇔log3t+1+t−8≤log2t+24t ⇔log3t+1+t−8−log2t+24t≤0 Đặt ft=log3t+1+t−8−log2t+24t , t > 0 ta có: f't=1t+1ln3+1−1t+24tln2.−24t2>0 ,∀t>0⇒ft đồng biến. Mà ft≤f8=0⇒0<t≤8 · Với y=0⇒t=x⇒x∈1;2;...8 Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn. Ta có t≤8⇒x2+4y2≤8x⇒x−42+4y2≤16 4y2≤16⇔−2≤y≤2 · Với y=±2⇒x−42≤0⇒x=4 Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn. · Với y=±1⇒x−42≤12⇒−23≤x−4≤23⇒x∈1;2;...7 Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn. Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu hỏi:

01/03/2024 3,518

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (x^{2} + 4 y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2}) + \frac{x^{2} - 8 x + 4 y^{2}}{x} \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2} + 24 x)$ ?

A. 24

B. 25

C. 22

D. 48

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 18) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Đặt $t = \frac{x^{2} + 4 y^{2}}{x}$ (t>0 do x > 0 ).

Từ giả thiết $\Rightarrow \log_{3} (t x + x) + \log_{2} (t x) + t - 8 \leq \log_{3} x + \log_{2} (t x + 24 x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (t + 1) + t - 8 \leq \log_{2} (\frac{t + 24}{t})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (t + 1) + t - 8 - \log_{2} (\frac{t + 24}{t}) \leq 0$

Đặt $f (t) = \log_{3} (t + 1) + t - 8 - \log_{2} (\frac{t + 24}{t})$ , t > 0 ta có:

$f' (t) = \frac{1}{(t + 1) \ln 3} + 1 - \frac{1}{(\frac{t + 24}{t}) \ln 2} . (\frac{- 24}{t^{2}}) > 0, \forall t > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến.

Mà $f (t) \leq f (8) = 0 \Rightarrow 0 < t \leq 8$

· Với $y = 0 \Rightarrow t = x \Rightarrow x \in \{1; 2; ...8\}$

Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Ta có $t \leq 8 \Rightarrow x^{2} + 4 y^{2} \leq 8 x \Rightarrow {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} \leq 16$

$4 y^{2} \leq 16 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 2$

· Với $y = \pm 2 \Rightarrow {(x - 4)}^{2} \leq 0 \Rightarrow x = 4$

Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

· Với $y = \pm 1 \Rightarrow {(x - 4)}^{2} \leq 12 \Rightarrow - 2 \sqrt{3} \leq x - 4 \leq 2 \sqrt{3}$ $\Rightarrow x \in \{1; 2; ...7\}$

Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1$ là

A. $[\frac{5}{2}; + \infty)$

B. $(\frac{5}{2}; + \infty)$

C. $(- \infty; \log_{2} 5)$

D. $(- \infty; \frac{5}{2})$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ .

Bất phương trình: $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1 \Leftrightarrow x - 2 \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq \frac{5}{2}$ .

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm $S = [\frac{5}{2}; + \infty)$ .

Câu 2

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

B. $(1; + \infty)$

C. (1;0)

D. $(- 1; + \infty)$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;0) và $(1; + \infty)$ .

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua trục Oz có tọa độ là

A. (1;2;-3)

B. (-1;-2;3)

C. (0;0;3)

D. (-1;2;3)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$ và thoả mãn $\int_{0}^{4} f (x) d x = F (4) - G (0) + 2 m$ , với m > 0. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F (x)$ , $y = G (x)$ ; $x = 0$ và $x = 4$ . Khi S = 8 thì m bằng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. $30 °$

B. $90 °$

C. $60 °$

D. $45 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-3;1-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{1}$ . Gọi $(α)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oyz). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α)$ bằng

A. $2 \sqrt{10}$

B. $\sqrt{10}$

C. $\frac{8 \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng

A. $\frac{8}{21}$

B. $\frac{4}{7}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{3}{7}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3x2+4y2+x+log2x2+4y2+x2−8x+4y2x≤log3x+log2x2+4y2+24x?

Tập nghiệm của bất phương trình log12x−2≤1 là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua trục Oz có tọa độ là

Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ và thoả mãn ∫04fxdx=F4−G0+2m , với m > 0. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=Fx , y=Gx ; x=0 và x=4 . Khi S = 8 thì m bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=a62 (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-3;1-3) và đường thẳng d: x+12=y−2−3=z1 . Gọi α là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oyz). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng α bằng

Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (x^{2} + 4 y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2}) + \frac{x^{2} - 8 x + 4 y^{2}}{x} \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2} + 24 x)$ ?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1$ là

Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$ và thoả mãn $\int_{0}^{4} f (x) d x = F (4) - G (0) + 2 m$ , với m > 0. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F (x)$ , $y = G (x)$ ; $x = 0$ và $x = 4$ . Khi S = 8 thì m bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng