Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3x2+4y2+x+log2x2+4y2+x2−8x+4y2x≤log3x+log2x2+4y2+24x? A. 24 B. 25 C. 22 D. 48

Đáp án đúng là: A Đặt t=x2+4y2x (t>0 do x > 0 ). Từ giả thiết ⇒log3tx+x+log2tx+t−8≤log3x+log2tx+24x ⇔log3t+1+t−8≤log2t+24t ⇔log3t+1+t−8−log2t+24t≤0 Đặt ft=log3t+1+t−8−log2t+24t , t > 0 ta có: f't=1t+1ln3+1−1t+24tln2.−24t2>0 ,∀t>0⇒ft đồng biến. Mà ft≤f8=0⇒0<t≤8 · Với y=0⇒t=x⇒x∈1;2;...8 Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn. Ta có t≤8⇒x2+4y2≤8x⇒x−42+4y2≤16 4y2≤16⇔−2≤y≤2 · Với y=±2⇒x−42≤0⇒x=4 Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn. · Với y=±1⇒x−42≤12⇒−23≤x−4≤23⇒x∈1;2;...7 Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn. Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu hỏi:

01/03/2024 3,144

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (x^{2} + 4 y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2}) + \frac{x^{2} - 8 x + 4 y^{2}}{x} \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2} + 24 x)$ ?

A. 24

Đáp án chính xác

B. 25

C. 22

D. 48

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 18) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Đặt $t = \frac{x^{2} + 4 y^{2}}{x}$ (t>0 do x > 0 ).

Từ giả thiết $\Rightarrow \log_{3} (t x + x) + \log_{2} (t x) + t - 8 \leq \log_{3} x + \log_{2} (t x + 24 x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (t + 1) + t - 8 \leq \log_{2} (\frac{t + 24}{t})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (t + 1) + t - 8 - \log_{2} (\frac{t + 24}{t}) \leq 0$

Đặt $f (t) = \log_{3} (t + 1) + t - 8 - \log_{2} (\frac{t + 24}{t})$ , t > 0 ta có:

$f' (t) = \frac{1}{(t + 1) \ln 3} + 1 - \frac{1}{(\frac{t + 24}{t}) \ln 2} . (\frac{- 24}{t^{2}}) > 0, \forall t > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến.

Mà $f (t) \leq f (8) = 0 \Rightarrow 0 < t \leq 8$

· Với $y = 0 \Rightarrow t = x \Rightarrow x \in \{1; 2; ...8\}$

Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Ta có $t \leq 8 \Rightarrow x^{2} + 4 y^{2} \leq 8 x \Rightarrow {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} \leq 16$

$4 y^{2} \leq 16 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 2$

· Với $y = \pm 2 \Rightarrow {(x - 4)}^{2} \leq 0 \Rightarrow x = 4$

Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

· Với $y = \pm 1 \Rightarrow {(x - 4)}^{2} \leq 12 \Rightarrow - 2 \sqrt{3} \leq x - 4 \leq 2 \sqrt{3}$ $\Rightarrow x \in \{1; 2; ...7\}$

Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

B. $(1; + \infty)$

C. (1;0)

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án » 29/02/2024 13,594

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua trục Oz có tọa độ là

A. (1;2;-3)

B. (-1;-2;3)

C. (0;0;3)

D. (-1;2;3)

Xem đáp án » 01/03/2024 11,117

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1$ là

A. $[\frac{5}{2}; + \infty)$

B. $(\frac{5}{2}; + \infty)$

C. $(- \infty; \log_{2} 5)$

D. $(- \infty; \frac{5}{2})$

Xem đáp án » 29/02/2024 9,873

Câu 4:

Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng

A. $\frac{8}{21}$

B. $\frac{4}{7}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{3}{7}$

Xem đáp án » 01/03/2024 9,057

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) {(2 x - 5)}^{2}$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 3)$

C. $(- 1; + \infty)$

D. $(- 3; 1)$

Xem đáp án » 29/02/2024 7,683

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. $30 °$

B. $90 °$

C. $60 °$

D. $45 °$

Xem đáp án » 29/02/2024 7,675

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. $45 °$

B. $60 °$

C. $90 °$

D. $120 °$

Xem đáp án » 29/02/2024 7,538

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (x^{2} + 4 y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2}) + \frac{x^{2} - 8 x + 4 y^{2}}{x} \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2} + 24 x)$ ?

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua trục Oz có tọa độ là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1$ là

Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) {(2 x - 5)}^{2}$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3x2+4y2+x+log2x2+4y2+x2−8x+4y2x≤log3x+log2x2+4y2+24x?

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3). Điểm đối xứng với A qua trục Oz có tọa độ là

Tập nghiệm của bất phương trình log12x−2≤1 là

Một nhóm gồm 2 người đàn ông, 3 người phụ nữ và 4 trẻ em. Chọn ngẫu nhiên 4 người từ nhóm đó. Xác suất để 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'x=x+12x−52 với mọi x∈ℝ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=a62 (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

$\log_{3} (x^{2} + 4 y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2}) + \frac{x^{2} - 8 x + 4 y^{2}}{x} \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + 4 y^{2} + 24 x)$ ?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \leq 1$ là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) {(2 x - 5)}^{2}$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và $S A = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng