Câu hỏi:

01/03/2024 13,730

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m. Được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình vẽ). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m. Tính thể tích V của dầu có trong thùng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. $V = 1,27 m^{3} .$

B. $V = 1,31 m^{3} .$

C. $V = 1,19 m^{3} .$

D. $V = 1,52 m^{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 19) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn là 1m, trục bé 0,8m, (ảnh 2)

Vì độ dài trục lớn là 1m nên ta có $2 a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$ .

Độ dài trục bé là 0,8m nên ta có $2 b = 0,8 \Rightarrow b = \frac{2}{5}$ .

Ta có phương trình của Elip là $\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{4}{25}} = 1.$

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của dầu với elip.

Gọi $S_{1}$ là diện tích của Elip ta có $S_{1} = π a b = π . \frac{1}{2} . \frac{2}{5} = \frac{π}{5}$ .

Gọi $S_{2}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng ( tính từ đáy thùng lên mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là $y = \frac{1}{5} .$

Mặt khác từ phương trình $\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{4}{25}} = 1$ , ta có $y = \frac{4}{5} \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} .$

Tọa độ giao điểm của elip và đường thẳng $y = \frac{1}{5}$ là nghiệm của hệ:

$\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{4}{25}} = 1 \\ y = \frac{1}{5} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm \frac{\sqrt{3}}{4} \\ y = \frac{1}{5} \end{cases}$ .

Do đó đường thẳng $y = \frac{1}{5}$ cắt Elip tại hai đỉnh M, N có hoành độ lần lượt là $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ và $\frac{\sqrt{3}}{4}$ nên $S_{2} = \int_{- \frac{\sqrt{3}}{4}}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} (\frac{4}{5} \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} - \frac{1}{5}) d x = \frac{4}{5} \int_{- \frac{\sqrt{3}}{4}}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} d x - \frac{\sqrt{3}}{10} .$

Tính $I = \int_{- \frac{\sqrt{3}}{4}}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \sqrt{\frac{1}{4} - x^{2}} d x .$

Đặt $x = \frac{1}{2} \sin t \Rightarrow d x = \frac{1}{2} c o s t d t .$

Đổi cận: Khi $x = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ thì $t = - \frac{π}{3};$ khi $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ thì $t = \frac{π}{3} .$

$I = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2} . \frac{1}{2} {cos}^{2} t d t = \frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (1 + c os 2 t) d t = \frac{1}{8} (\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) .$

Vậy $S_{2} = \frac{4}{5} . \frac{1}{8} (\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{10} = \frac{π}{15} - \frac{\sqrt{3}}{20} .$

Thể tích của dầu trong thùng là $V = (\frac{π}{5} - \frac{π}{15} + \frac{\sqrt{3}}{20}) .3 = 1,52.$

Vậy $V = 1,52 m^{3} .$

Bình luận

Nguyễn An Ninh
20:14 - 23/02/2025

bài này từ đoạn đổi cận giải sai rồi phải không ạ chứ trong căn ra là được 1/2cost mà ạ

1
Trả lời

Nguyễn An Ninh
20:15 - 23/02/2025

em nhầm ạ

Xem thêm ...

Câu 1:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ là

A. y = 1

B. y = 2

C. x = -2

D. x = 1

Xem đáp án » 01/03/2024 25,754

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. Góc giữa SI và BC bằng?

A. $90 °$

B. $30 °$

C. $45 °$

D. $60 °$

Xem đáp án » 01/03/2024 17,560

Câu 3:

Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu, khác số và có ít nhất một quả ghi số chẵn bằng

A. $\frac{2}{7}$

B. $\frac{13}{35}$

C. $\frac{9}{35}$

D. $\frac{12}{35}$

Xem đáp án » 01/03/2024 15,852

Câu 4:

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên $[- 1; 2], f (- 1) = 8; f (2) = - 1$ . Tích phân $\int_{- 1}^{2} f^{'} (x) d x$ bằng

A. 7

B. 1

C. 9

D. -9

Xem đáp án » 01/03/2024 12,589

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} + 2 x$ trên $ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g (x) = f (x^{2} - 8 x + m)$ có 5 điểm cực trị dương?

A. 0

B. 14

C. 13

D. 12

Xem đáp án » 01/03/2024 11,349

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz tọa độ nào sau đây là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = 1 - 6 t \\ z = 9 t \end{cases}, (t \in ℝ) ?$

A. $(4; - 6; 0)$

B. $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4})$

C. $(2; 1; 0)$

D. $(\frac{1}{3}; \frac{- 1}{2}; \frac{3}{4})$

Xem đáp án » 01/03/2024 10,795

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)