Câu hỏi:

02/03/2024 1,303

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|z + 2 w| = 1$ và $|3 z - w| = 2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = 7 |z + w| + |z + 9 w|$ . Tính giá trị của $M^{2} - m^{2}$ .

A. 65

B. 16

C. 64

D. 17

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 20) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Đặt $z_{1} = z + 2 w, z_{2} = 3 z - w$ . Gọi $A (z_{1}), B (z_{2}) \Rightarrow O A = 1; O B = 2$ .

$P = |4 z_{1} + z_{2}| + |4 z_{1} - z_{2}|$ .

${|4 z_{1} + z_{2}|}^{2} = {|4 \vec{O A} + \vec{O B}|}^{2} = 16 O A^{2} + O B^{2} + 8 \vec{O A} . \vec{O B} = 20 + 16. c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = 20 + 16 x$

với $x = \cos (\vec{O A}, \vec{O B}), x \in [- 1; 1]$ .

${|4 z_{1} - z_{2}|}^{2} = {|4 \vec{O A} - \vec{O B}|}^{2} = 16 O A^{2} + O B^{2} - 8 \vec{O A} . \vec{O B} = 20 - 16. c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = 20 - 16 x$

Khi đó $P = \sqrt{20 + 16 x} + \sqrt{20 - 16 x}$ .

Xét hàm số $f (x) = \sqrt{20 + 16 x} + \sqrt{20 - 16 x}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ .

$f^{'} (x) = \frac{8}{\sqrt{20 + 16 x}} - \frac{8}{\sqrt{20 - 16 x}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{20 + 16 x} = \sqrt{20 - 16 x} \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn).

Ta có $f (- 1) = f (1) = 8 = m$ ; $f (0) = 4 \sqrt{5} = M$ .

Vậy $M^{2} - m^{2} = 16$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i$ ?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $Δ = a^{2} - 4 b$ .

TH1: $Δ \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 b \geq 0$ thì $z_{1}, z_{2} \in ℝ$

$z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i \Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} - 3 = 0 \\ 0 = 1 - |z_{2}| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ |z_{2}| = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = - 1 \end{cases}$ .

+) $\{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = 4 \\ b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 4 \\ b = 3 \end{cases}$ (thỏa mãn).

+) $\{\begin{cases} z_{1} = 3 \\ z_{2} = - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 3 \end{cases}$ (thỏa mãn).

TH2: $Δ < 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 b < 0$ thì $z_{1}, z_{2} \notin ℝ \Rightarrow z_{1} = \bar{z_{2}}$ .

$z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i \Leftrightarrow z_{1} = 3 + (1 - |z_{1}|) i$

$\Rightarrow |z_{1}| = \sqrt{9 + {(1 - |z_{1}|)}^{2}} \Leftrightarrow {|z_{1}|}^{2} = 10 - 2 |z_{1}| + {|z_{1}|}^{2} \Leftrightarrow |z_{1}| = 5$

$\Rightarrow z_{1} = 3 - 4 i \Rightarrow z_{2} = 3 + 4 i$ $\Rightarrow \{\begin{cases} S = 6 \\ P = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - a = 6 \\ b = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases}$ (thỏa mãn).

Vậy có 3 cặp số (a,b) thỏa mãn.

Câu 2

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = - x^{2} + 3 x$ và y = 0 xung quanh trục Ox.

A. $\frac{5 π}{2} .$

B. $\frac{27 π}{10} .$

C. $\frac{81 π}{10} .$

D. $\frac{9 π}{2} .$

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường $y = - x^{2} + 3 x$ và $y = 0$ là $- x^{2} + 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}$ .

Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = π \int_{0}^{3} {(- x^{2} + 3 x)}^{2} d x = \frac{81 π}{10}$ .

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) và C(2;3;1). Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A và song song với đường thẳng BC.

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$

B. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{3}$

C. $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z}{3}$

D. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{- 1}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $90 °$

D. $60 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + 2 x$ thỏa mãn F(0) = 2. Tìm F(x).

A. $F (x) = e^{x} + x^{2} + 1$

B. $F (x) = e^{x} + x^{2} + 2$

C. $F (x) = e^{x} + 2 x^{2} + 1$

D. $F (x) = e^{x} + x^{2} - 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích của khối chóp đã cho.

A. 4

B. 12

C. 6

D. 36

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn $\log_{2} (8 x^{2}) + \log_{3} (3 x^{3}) \geq \log_{2} x . \log_{3} x$ ?

A. 27

B. 8

C. 134

D. 133

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Xét các số phức z, w thỏa mãn z+2w=1 và 3z−w=2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=7z+w+z+9w . Tính giá trị của M2−m2 .

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2+az+b=0 (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1−3=1−z2i ?

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=−x2+3x và y = 0 xung quanh trục Ox.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) và C(2;3;1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với đường thẳng BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và SA=a6 (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=ex+2x thỏa mãn F(0) = 2. Tìm F(x).

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích của khối chóp đã cho.

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log28x2+log33x3≥log2x.log3x ?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|z + 2 w| = 1$ và $|3 z - w| = 2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = 7 |z + w| + |z + 9 w|$ . Tính giá trị của $M^{2} - m^{2}$ .

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} - 3 = (1 - |z_{2}|) i$ ?

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = - x^{2} + 3 x$ và y = 0 xung quanh trục Ox.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) và C(2;3;1). Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A và song song với đường thẳng BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + 2 x$ thỏa mãn F(0) = 2. Tìm F(x).

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn $\log_{2} (8 x^{2}) + \log_{3} (3 x^{3}) \geq \log_{2} x . \log_{3} x$ ?