Cho a, b, c > 0. Chứng minh a8+b8+c8a3b3c3≥1a+1b+1c.

Ta có: ⇔ a8 + b8 + c8 ≥ a2b2c2(ab + bc + ca) (*) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a8 + b8 ≥ 2a4b4 b8 + c8 ≥ 2b4c4 a8 + c8 ≥ 2a4c4 ⇒ a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + c4a4 Tiếp tục áp dụng AM-GM: a8 + b8 + a4b4 + c8 ≥ 4a12b12c84=4a3b3c2 b8 + c8 + b4c4 + a8 ≥ 4b3c3a2 c8 + a8 + a4c4 + b8 ≥ 4c3a3b2 Cộng lại ta được: 3(a8 + b8 + c8) + (a4b4 + b4c4 + a4c4) ≥ 4a2b2c2(ab + bc + ca) Mà a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + a4c4 Nên: 4(a8 + b8 + c8) ≥ 4a2b2c2(ab + bc + ca) Hay a8 + b8 + c8 ≥ a2b2c2(ab + bc + ca) Suy ra: (*) đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

11/07/2024 703

Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{a^{8} + b^{8} + c^{8}}{a^{3} b^{3} c^{3}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

⇔ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca) (*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a⁸ + b⁸ ≥ 2a⁴b⁴

b⁸ + c⁸ ≥ 2b⁴c⁴

a⁸ + c⁸ ≥ 2a⁴c⁴

⇒ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + c⁴a⁴

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

a⁸ + b⁸ + a⁴b⁴ + c⁸ ≥ $4 \sqrt[4]{a^{12} b^{12} c^{8}} = 4 a^{3} b^{3} c^{2}$

b⁸ + c⁸ + b⁴c⁴ + a⁸ ≥ 4b³c³a²

c⁸ + a⁸ + a⁴c⁴ + b⁸ ≥ 4c³a³b²

Cộng lại ta được:

3(a⁸ + b⁸ + c⁸) + (a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Mà a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴

Nên: 4(a⁸ + b⁸ + c⁸) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Hay a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca)

Suy ra: (*) đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng $B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + ... + \frac{2499}{2500}$ không phải là số nguyên.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,504

Câu 2:

Gọi X là tập nghiệm phương trình $\cos (\frac{x}{2} + 15 °) = \sin x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 220° ∈ X.

B. 240° ∈ X.

C. 290° ∈ X.

D. 20° ∈ X.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,323

Câu 3:

Tìm GTNN của A = x² – 4x + 7.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,844

Câu 4:

Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 234 học sinh, 264 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối không có ai đứng lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc mỗi khối có bao nhiêu học sinh?

Xem đáp án » 11/07/2024 4,174

Câu 5:

Tính $A = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{- 3} \cdot \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{- 9} \cdot \frac{1}{10}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 4,066

Câu 6:

Tìm nghiệm của phương trình 7x² – 35x + 42 = 0.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,412

Câu 7:

Tìm x biết: 4x(x + 1) = 8(x + 1).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,863

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP