Cho a, b, c > 0. Chứng minh a8+b8+c8a3b3c3≥1a+1b+1c.

Ta có: ⇔ a8 + b8 + c8 ≥ a2b2c2(ab + bc + ca) (*) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a8 + b8 ≥ 2a4b4 b8 + c8 ≥ 2b4c4 a8 + c8 ≥ 2a4c4 ⇒ a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + c4a4 Tiếp tục áp dụng AM-GM: a8 + b8 + a4b4 + c8 ≥ 4a12b12c84=4a3b3c2 b8 + c8 + b4c4 + a8 ≥ 4b3c3a2 c8 + a8 + a4c4 + b8 ≥ 4c3a3b2 Cộng lại ta được: 3(a8 + b8 + c8) + (a4b4 + b4c4 + a4c4) ≥ 4a2b2c2(ab + bc + ca) Mà a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + a4c4 Nên: 4(a8 + b8 + c8) ≥ 4a2b2c2(ab + bc + ca) Hay a8 + b8 + c8 ≥ a2b2c2(ab + bc + ca) Suy ra: (*) đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

11/07/2024 735

Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{a^{8} + b^{8} + c^{8}}{a^{3} b^{3} c^{3}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

⇔ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca) (*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a⁸ + b⁸ ≥ 2a⁴b⁴

b⁸ + c⁸ ≥ 2b⁴c⁴

a⁸ + c⁸ ≥ 2a⁴c⁴

⇒ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + c⁴a⁴

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

a⁸ + b⁸ + a⁴b⁴ + c⁸ ≥ $4 \sqrt[4]{a^{12} b^{12} c^{8}} = 4 a^{3} b^{3} c^{2}$

b⁸ + c⁸ + b⁴c⁴ + a⁸ ≥ 4b³c³a²

c⁸ + a⁸ + a⁴c⁴ + b⁸ ≥ 4c³a³b²

Cộng lại ta được:

3(a⁸ + b⁸ + c⁸) + (a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Mà a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴

Nên: 4(a⁸ + b⁸ + c⁸) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Hay a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca)

Suy ra: (*) đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng $B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + ... + \frac{2499}{2500}$ không phải là số nguyên.

Xem đáp án » 12/07/2024 8,037

Câu 2:

Gọi X là tập nghiệm phương trình $\cos (\frac{x}{2} + 15 °) = \sin x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 220° ∈ X.

B. 240° ∈ X.

C. 290° ∈ X.

D. 20° ∈ X.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,407

Câu 3:

Tìm GTNN của A = x² – 4x + 7.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,991

Câu 4:

Tính $A = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{- 3} \cdot \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{- 9} \cdot \frac{1}{10}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 4,247

Câu 5:

Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 234 học sinh, 264 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối không có ai đứng lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc mỗi khối có bao nhiêu học sinh?

Xem đáp án » 11/07/2024 4,203

Câu 6:

Tìm nghiệm của phương trình 7x² – 35x + 42 = 0.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,624

Câu 7:

Chứng minh $a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 2,967

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c > 0. Chứng minh a8+b8+c8a3b3c3≥1a+1b+1c.

Bình luận

Chứng minh rằng B=34+89+1516+2425+...+24992500 không phải là số nguyên.

Gọi X là tập nghiệm phương trình cosx2+15°=sinx. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 220° ∈ X. B. 240° ∈ X. C. 290° ∈ X. D. 20° ∈ X.

Tìm GTNN của A = x2 – 4x + 7.

Tính A=1−2⋅13+1−3⋅14+...+1−9⋅110.

Tìm nghiệm của phương trình 7x2 – 35x + 42 = 0.

Chứng minh alogbc=clogba.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{a^{8} + b^{8} + c^{8}}{a^{3} b^{3} c^{3}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Chứng minh rằng $B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + ... + \frac{2499}{2500}$ không phải là số nguyên.

Gọi X là tập nghiệm phương trình $\cos (\frac{x}{2} + 15 °) = \sin x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 220° ∈ X.

B. 240° ∈ X.

C. 290° ∈ X.

D. 20° ∈ X.

Tìm GTNN của A = x² – 4x + 7.

Tính $A = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{- 3} \cdot \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{- 9} \cdot \frac{1}{10}$ .

Tìm nghiệm của phương trình 7x² – 35x + 42 = 0.

Chứng minh $a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$ .