Cho a, b, c > 0. Chứng minh a8+b8+c8a3b3c3≥1a+1b+1c.

Ta có: ⇔ a8 + b8 + c8 ≥ a2b2c2(ab + bc + ca) (*) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a8 + b8 ≥ 2a4b4 b8 + c8 ≥ 2b4c4 a8 + c8 ≥ 2a4c4 ⇒ a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + c4a4 Tiếp tục áp dụng AM-GM: a8 + b8 + a4b4 + c8 ≥ 4a12b12c84=4a3b3c2 b8 + c8 + b4c4 + a8 ≥ 4b3c3a2 c8 + a8 + a4c4 + b8 ≥ 4c3a3b2 Cộng lại ta được: 3(a8 + b8 + c8) + (a4b4 + b4c4 + a4c4) ≥ 4a2b2c2(ab + bc + ca) Mà a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + a4c4 Nên: 4(a8 + b8 + c8) ≥ 4a2b2c2(ab + bc + ca) Hay a8 + b8 + c8 ≥ a2b2c2(ab + bc + ca) Suy ra: (*) đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,841

Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{a^{8} + b^{8} + c^{8}}{a^{3} b^{3} c^{3}} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

⇔ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca) (*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a⁸ + b⁸ ≥ 2a⁴b⁴

b⁸ + c⁸ ≥ 2b⁴c⁴

a⁸ + c⁸ ≥ 2a⁴c⁴

⇒ a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + c⁴a⁴

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

a⁸ + b⁸ + a⁴b⁴ + c⁸ ≥ $4 \sqrt[4]{a^{12} b^{12} c^{8}} = 4 a^{3} b^{3} c^{2}$

b⁸ + c⁸ + b⁴c⁴ + a⁸ ≥ 4b³c³a²

c⁸ + a⁸ + a⁴c⁴ + b⁸ ≥ 4c³a³b²

Cộng lại ta được:

3(a⁸ + b⁸ + c⁸) + (a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Mà a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + a⁴c⁴

Nên: 4(a⁸ + b⁸ + c⁸) ≥ 4a²b²c²(ab + bc + ca)

Hay a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b²c²(ab + bc + ca)

Suy ra: (*) đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng $B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + ... + \frac{2499}{2500}$ không phải là số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Chứng minh rằng B = 3/4 + 8/9 +15/16 + 24/25+...+ 2499/2500 không phải là số nguyên. (ảnh 1)

Từ (1) và (2) ta có: $49 - \frac{49}{102} < B < 49 - \frac{49}{50}$

⇒ $\frac{4949}{102} < B < \frac{2401}{50}$

Vậy B không phải là số nguyên.

Câu 2

Tìm GTNN của A = x² – 4x + 7.

Xem đáp án

Lời giải

A = x² – 4x + 7

A = x² – 4x + 4 + 3

A = (x – 2)² + 3

Ta thấy (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 2)² + 3 ≥ 3 với mọi x

Hay A ≥ 3

Vậy GTNN của A = 3 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Câu 3