Câu hỏi:

19/06/2024 202

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right),B\left( { - 2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x + 2y - z + 9 = 0\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \((\alpha )\) sao cho \(M\) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng \[MB\] khi \[MB\] đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có: \(2 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1 + 9 = 0 \Rightarrow B \in (\alpha ).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \((\alpha )\) thì \(AH \bot MB,\,\,AM \bot MB\)

\( \Rightarrow MH \bot MB \Rightarrow MB \le BH{\rm{.}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(M \equiv H\), lúc đó \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \((\alpha ).\)

Gọi \(H\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right),\,\,\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 1\,;\,\,y - 2\,;\,\,z + 3} \right)\). Chọn C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Đặt \(OP = x\,\,(0 < x < 4) \Rightarrow BP = 4 - x\,;\,\,AP = \sqrt {4 + {x^2}} .\)

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \(B\) là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}(h)\,\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}.\)

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}}  = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < x < 4}\\{4{x^2} = 9}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

\(x\)

 0

\(\frac{3}{2}\)

4

\(t'\left( x \right)\)

\( - \)

0                        +

 

\(t\left( x \right)\)

  \(\frac{{11}}{{15}}\)  

Media VietJack

 

\(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Media VietJack

 

 

\(\frac{2}{3}\)

 

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm \({\rm{B}}\) là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}(h) = \frac{2}{3}.60\) (phút) \( = 40\) (phút). Chọn A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP