Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm, liên tục trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] thỏa mãn \(f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right)\) và \(f\left( 2 \right) = {e^3}.\) Tính \(\int\limits_5^7 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{x + 1}}}}} \,{\rm{d}}x.\)

Ta biến đổi \(f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right) = x{e^{x + 1}}.\)

\[ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} \Rightarrow {\left[ {\left( {x - 1} \right) \cdot f\left( x \right)} \right]^\prime } = x \cdot {e^{x + 1}}\]

Ta lấy nguyên hàm hai vế được:

\(\left( {x - 1} \right) \cdot f\left( x \right) = \int x {e^{x + 1}}dx \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \cdot f\left( x \right) = x \cdot {e^{x + 1}} - \int {{e^{x + 1}}dx}  = {e^{x + 1}}\left( {x - 1} \right) + C\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{x + 1}} + \frac{C}{{x - 1}}.\)

Ta có \(f(2) = {e^3} \Leftrightarrow {e^3} + C = {e^3} \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{x + 1}}.\)

Suy ra \(\int\limits_5^7 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{x + 1}}}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_5^7 {{\rm{d}}x} \, = \left. x \right|_5^7 = 2.\) Chọn C.