Câu hỏi:
20/06/2024 52
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm, liên tục trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] thỏa mãn \(f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right)\) và \(f\left( 2 \right) = {e^3}.\) Tính \(\int\limits_5^7 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{x + 1}}}}} \,{\rm{d}}x.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm, liên tục trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] thỏa mãn \(f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right)\) và \(f\left( 2 \right) = {e^3}.\) Tính \(\int\limits_5^7 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{x + 1}}}}} \,{\rm{d}}x.\)
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 7) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta biến đổi \(f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right) = x{e^{x + 1}}.\)
\[ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)f'\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)f\left( x \right) = x{e^{x + 1}} \Rightarrow {\left[ {\left( {x - 1} \right) \cdot f\left( x \right)} \right]^\prime } = x \cdot {e^{x + 1}}\]
Ta lấy nguyên hàm hai vế được:
\(\left( {x - 1} \right) \cdot f\left( x \right) = \int x {e^{x + 1}}dx \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \cdot f\left( x \right) = x \cdot {e^{x + 1}} - \int {{e^{x + 1}}dx} = {e^{x + 1}}\left( {x - 1} \right) + C\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{x + 1}} + \frac{C}{{x - 1}}.\)
Ta có \(f(2) = {e^3} \Leftrightarrow {e^3} + C = {e^3} \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{x + 1}}.\)
Suy ra \(\int\limits_5^7 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{x + 1}}}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_5^7 {{\rm{d}}x} \, = \left. x \right|_5^7 = 2.\) Chọn C.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị?
Xem đáp án »
20/06/2024
7,249
Câu 2:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( {2x + 3} \right) + 2\) có đồ thị là một parabol với tọa độ đỉnh \(I\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\,2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
20/06/2024
1,132
Câu 3:
Phương trình \({\log _x}2 + {\log _2}x = \frac{5}{2}\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Khi đó, giá trị của \(x_1^2 + {x_2}\) bằng
Xem đáp án »
20/06/2024
965
Câu 4:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( { - 2} \right) = 3\) và \(g'\left( { - 4} \right) = 1.\) Đạo hàm của hàm số \(y = 2f\left( x \right) - 3g\left( {2x} \right)\) tại điểm \(x = - 2\) bằng
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( { - 2} \right) = 3\) và \(g'\left( { - 4} \right) = 1.\) Đạo hàm của hàm số \(y = 2f\left( x \right) - 3g\left( {2x} \right)\) tại điểm \(x = - 2\) bằng
Xem đáp án »
20/06/2024
940
Câu 5:
Giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^3} + m{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] là
Xem đáp án »
20/06/2024
812
Câu 6:
Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là \[13,5\] triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm \[500\,\,000\] đồng mỗi quý. Tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty là
Xem đáp án »
20/06/2024
704
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 3.\) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\), khi đó \(F\left( 1 \right)\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 3.\) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\), khi đó \(F\left( 1 \right)\) bằng
Xem đáp án »
20/06/2024
446
về câu hỏi!