Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right).\) Điểm \[A'\] đối xứng với điểm \[A\] qua trục Oy. Tọa độ điểm \[A'\] là

Gọi \(x\) là số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận lớn nhất.

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chỉ số tiền thu được sau mỗi chuyến xe \(\left( {0 < x \le 60\,,\,\,x \in \mathbb{N}} \right).\)

Số tiền thu được sau mỗi chuyến xe:

\(F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2} \cdot x = 90\,\,000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}\).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(F(x)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(F'\left( x \right) = 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2}\)

\(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90\,\,000 - 3\,\,000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 120}&{(L)}\\{x = 40}&{(TM)}\end{array}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

Điều kiện: \(8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 4.\)

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}  \le 3 \Rightarrow 0 \le t \le 3\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = 2m\)

\( \Leftrightarrow 8 - {t^2} - 3 + t = 2m \Leftrightarrow  - {t^2} + t + 5 = 2m\).

Yêu cầu bài toán trở thành: \((*)\) có nghiệm \[x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\].

Xét hàm số: \(f\left( t \right) =  - {t^2} + t + 5\) có \(f'\left( t \right) =  - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên: