Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho hình bình hành \[ABCD\] có phương trình đường thẳng \[AB\] là \(2x + y + 7 = 0\), phương trình đường thẳng \[AD\] là \(x - 4y - 1 = 0\) và giao điểm của hai đường chéo \[AC,\,\,BD\] là \[I\left( {1\,;\,\,2} \right).\] Phương trình của đường thẳng \[BC\] là

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + 7 = 0}\\{x - 4y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)Suy ra \(A( - 3; - 1).\)

Vì \[ABCD\] là hình bình hành nên \(I\) là trung điểm của \[AC.\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = \frac{{ - 3 + {x_C}}}{2}}\\{2 = \frac{{ - 1 + {y_C}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 5}\\{{y_C} = 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)\[ \Rightarrow C\left( {5\,;\,\,5} \right).\]

Đường thẳng \[BC\] song song với đường thẳng \[AD.\]

Do đó phương trình đường thẳng BC có dạng: \(x - 4y + c = 0\) với \(c \ne  - 1.\)

Vì \[C\left( {5\,;\,\,5} \right)\] thuộc đường thẳng BC nên \(5 - 4 \cdot 5 + c = 0 \Leftrightarrow c = 15.\)

Vậy phương trình đường thẳng BC là: \(x - 4y + 15 = 0.\) Chọn B.