Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v = k(R² – r²), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0 ≤ r ≤ R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

a) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm là:

\(\int\limits_{100}^{101} {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{100}^{101} {\left( { - 0,0005x + 12,2} \right)} dx\)\( = \left. {\left( { - \frac{1}{{4000}}{x^2} + 12,2x} \right)} \right|_{100}^{101}\)

= 1229,64975 – 1217,5 = 12,14975 triệu đồng.

b) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm là

\(\int\limits_{100}^{110} {P'\left( x \right)} dx = \int\limits_{100}^{110} {\left( { - 0,0005x + 12,2} \right)} dx\)\( = \left. {\left( { - \frac{1}{{4000}}{x^2} + 12,2x} \right)} \right|_{100}^{110}\)

= 1338,975 – 1217,5 = 121,475 triệu đồng.

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4 là

\(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)} dt = \int\limits_1^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)} dt\)\( = \int\limits_1^4 {{t^2}} dt - \int\limits_1^4 t dt - 6\int\limits_1^4 {dt} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_1^4\)\( = - \frac{{32}}{3} + \frac{{37}}{6} = - \frac{9}{2}\).

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là

\(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|} dt\)\( = \int\limits_1^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|} dt\)\( = \int\limits_1^3 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|} dt + \int\limits_3^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|} dt\)

\( = - \int\limits_1^3 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)} dt + \int\limits_3^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)} dt\)\( = - \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_3^4\)\( = \frac{{27}}{2} - \frac{{37}}{6} - \frac{{32}}{3} + \frac{{27}}{2} = \frac{{61}}{6}\).