Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} $;

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} $;

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} $;

d) $\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) $\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} $$ = \int\limits_1^4 {{x^3}dx} - 2\int\limits_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx} $$ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4$$ = \frac{{160}}{3} + \frac{{13}}{{12}} = \frac{{653}}{{12}}$.

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $$ = \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 1 = 0$.

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = \left. { - \cot x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = - 1 + \sqrt 3 $.

d) $\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} $$ = \int\limits_1^{16} {\sqrt x dx} - \int\limits_1^{16} {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} $$ = \int\limits_1^{16} {{x^{\frac{1}{2}}}dx} - \int\limits_1^{16} {{x^{ - \frac{1}{2}}}dx} $$ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^{16}$$ = \frac{{104}}{3} + \frac{4}{3} = 36$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t² + t (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là

A. 8 m/s.

B. 10 m/s.

C. 12 m/s.

D. 16 m/s.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C} } $.

Vì v(0) = 2 nên C = 2.

Do đó $v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2$.

Vậy $v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12$ (m/s).

Câu 2

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{175} x^{2} + \frac{3}{35} x + 5 (0 \leq x \leq 30)$ (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm³ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích đất sét cần sử dụng là:

$V = \pi \int\limits_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} $

\[ = \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \]

\[ = \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \]

\[ = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{2}{{35}}{x^2} + \frac{6}{7}x} \right)dx} \]

\[ = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + \frac{6}{7}x + 25} \right)dx} \]

\[ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + \frac{{3{x^2}}}{7} + 25x} \right)} \right|_{30}^{31}\]

\[ \approx \pi \left( {2240,4 - 2073,2} \right) = 167,2\pi \] (cm³).

Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng 167,2π cm³ đất sét.

Câu 3